Apreciaría si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:
P: Si$f$ es una función continua y$\int^{1}_{0}f(x)dx=0$ entonces existe$c\in(0,1)$ tal que:
PS
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si tal$c$ no existe, podemos asumir que para todos los$t\in(0,1)$,$$\int _0^t(x^2+x)f(x)dx>0.$ $ Let$F(t):=\int_0^tf(x) dx$, entonces por integración por partes,$$0<\int _0^t(x^2+x)f(x)dx=(t^2+t)F(t)-\int_0^t(2x+1)F(x) dx$ $ es $$G(t):=\frac{1}{t^2+t}\int_0^t(2x+1)F(x) dx<F(t)\tag{*}.$ $ Ahora $$ G '(t) = \ frac {1} {(t ^ 2 + t) ^ 2} \ left ((2t + 1) F (t) (t ^ 2 + t) - (2t + 1) \ int_0 ^ t (2x + 1) F (x) dx \ right) \\ = \ frac {(2t + 1)} {(t ^ 2 + t) ^ 2} \ left (( t ^ 2 + t) F (t) - \ int_0 ^ t (2x + 1) F (x) dx \ right)> 0 $$ donde usamos (*). Por lo tanto,$G$ está aumentando estrictamente en$(0,1)$.
Por otro lado,$G(0^+)=F(0)=0$ y$G(1^-)\leq F(1)=0$. Contradicción.
H. H. Rugh
Puntos
1963
La anterior respuesta, obviamente, es suficiente en el contexto actual. Sin embargo, dado que he usado algún tiempo para contemplar el problema, deja que me presente la siguiente (más conceptual) enfoque: Supongamos $g>0$ ${\Bbb R}_+$ $g$ es monótona creciente. Para el propósito de la simplicidad de la prueba de dejar que me suponga $g\in C^1$, aunque esto no es necesario.
Supongamos ahora $f\in L^1({\Bbb R}_+)$ tiene la propiedad de que para cada $x>0$: $$ W(x) = \int_0^x g(t)f(t) >0 .$$ Entonces me afirman que por cada $x>0$: $$ F(x)=\int_0^x f(t) \; dt >0.$$ (el problema de la OP sigue mirando la contraposición de $g(t)=t^2+t$).
Para probar esta nota primero que $|W(x)/g(x)| \leq \int_0^x |f(t)| dt \rightarrow 0$$x\rightarrow 0$. Ahora hemos de hacer una integración por parte: $$ F(x)= \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_\epsilon^x \frac{1}{g(t)} g(t)f(t) \; dt = \frac{W(x)}{g(x)} + \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_0^x W(t) \frac{g'(t)}{g(t)^2} dt >0$$ donde he utilizado ese $g$ es monótona creciente y positiva. La conclusión de la siguiente manera.
