Ejemplos de ideales libres no principales

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo, y $I\subset R$ es un no-cero gratis ideal, entonces es principal generado por un no-zerodivisor.

Si $R$ es un no-conmutativa anillo de tener el IBN propiedad y $I\subset R$ es un no-cero gratis ideal, a continuación, $I$ no es necesariamente el principal. Un ejemplo concreto de un no-principal libre ideal en $R=K\langle x,y\rangle$$I=Rx+Ry$. (Gracias a @rschwieb para señalado.)

Por ahora me gustaría encontrar un ejemplo de un no-principal libre ideal en una (no conmutativa) anillo sin el IBN propiedad.

Para ello he pensado empezar con un anillo de $R$ con la propiedad de que $R\simeq R^3$ (a la izquierda) $R$-módulos. Entonces el lado izquierdo del submódulo $I=\{0\}\times R\times R$ $R^3$ es gratis (desde $I\simeq R^2$), y por lo tanto corresponde a una libre a la izquierda ideal en $R$. Queda por demostrar que $I$ no es principal y aquí estoy atascado. Si $R$ es una parte integral de dominio, luego de esto se sigue inmediatamente, pero no sé que tal $R$. (En Lam, Conferencias sobre los Módulos y Anillos, página 294, uno puede encontrar un ejemplo de la integral de dominio sin IBN propiedad, pero esto no satisface la condición de $R\simeq R^3$.)

Answer 1

Si no te importa el ideal de ser de infinito valor, entonces vamos a $S$ ser cualquier anillo sin el IBN propiedad, y deje $R=S\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}\langle x_1,x_2,\dots\rangle$. A continuación, $R$ no tiene el IBN propiedad (si $S^m\cong S^n$$R^m\cong R^n$). Pero la izquierda ideal $\sum_iS\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}\langle x_1,x_2,\dots\rangle x_i$ es libre de rango infinito y no tan principales.

Si desea que el ideal para tener rango finito, entonces usted probablemente podría encontrar un ejemplo donde $S$ es un anillo sin el IBN propiedad de tal manera que $S\not\cong S^2$ pero $S^2\cong S^3$, e $R=S\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}\langle x,y\rangle$. La izquierda ideal $S\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}\langle x,y\rangle x+ S\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}\langle x,y\rangle y$ is free of rank $2$, y no veo por qué tendría que ser el director.