Lo que significa es que todos los Turing-invariante conjuntos de reales (es decir, si $x\in A$$x\equiv_T y$,$y\in A$) son de Turing medibles.
Este es equiconsistent con $\mathsf{AD}$, es decir, con $\mathsf{ZFC}+$ "Hay infinitamente muchos Woodin cardenales". El equiconsistency fue demostrado por Woodin en el $80$s, pero sigue siendo inédito-en los últimos años, la mayoría de los resultados de ese período han aparecido de una manera o de otra. Este es uno de los pocos que no.
Él mostró que, en $L(\mathbb R)$, en $\mathsf{ZF}+\mathsf{DC}$, Turing determinación (es decir, "todos los Turing invariante conjuntos de reales están determinados", que se ve fácilmente a ser equivalente a la de Turing mensurabilidad) implica la total determinación.
Woodin ha mejorado el resultado a través de los años. La versión más fuerte que yo sepa, a partir de la década de $2000$s, creo yo, es que en $\mathsf{ZF}$, Turing determinación implica que cada Suslin se determina. Esto da el resultado en $L(\mathbb R)$ por la reflexión.
Yo veía esto hace un par de años, cuando se piensa acerca de un problema diferente, en Galvin la multiboard determinación. Richard Ketchersid y he observado que en $\mathsf{ZF}$, $\omega$-la junta de determinación es incompatible con la elección, y equiconsistent con plena determinación, porque implica Turing mensurabilidad. No sé de una prueba directa que evita el desvío a través de Martin es el resultado. (En el $\kappa$-juego de mesa, un conjunto $A\subseteq\omega^\omega$ es fijo, y los jugadores I y II de jugar el juego habitual en $A$ simultáneamente en $\kappa$ muchas tablas. Jugador que gana el fib que ganar el juego habitual en al menos uno de los tableros, de lo contrario II wins).
