Problema de intersección de dos curvas polares .

Question

Supongamos que tenemos dos curvas dadas por: $$r=20sin2\theta $$ $$r= 20 cos2\theta$$

Ahora, resolviendo las ecuaciones, obtenemos el solución como $\theta = \frac{\pi}{8}$ .

Sin embargo, al graficar las ecuaciones, puedo encontrar 8 puntos de intersección . ¿Dónde puedo haber cometido un error?

Answer 1

Hay que tener en cuenta dos cuestiones. Una de ellas es la periodicidad del $\tan$ función. $\tan(2\theta)$ tiene una periodicidad de $\pi/2$ , por lo que se obtiene $\pi/8, 5\pi/8, 9\pi/8, 13\pi/8$ como posibles soluciones en el $[0,2\pi)$ intervalo. La otra cuestión a tener en cuenta es que el $r$ en las dos ecuaciones no es necesariamente la misma. También se obtiene la solución si $r_1=-r_2$ y $\sin(2\theta)=-\cos(2\theta)$ . A partir de la definición de $\arctan$ se obtiene $\theta=-\pi/8$ , lo que da como resultado $3\pi/8, 7\pi/8, 11\pi/8, 15\pi/8$ en el intervalo mencionado.

Answer 2

Se está perdiendo el punto de que $$ \frac{\pi}{8} $$ es sólo una de las soluciones de este conjunto de ecuaciones polares.

Busquemos la solución general fijando los dos valores de $r$ como iguales entre sí:

$$ 20 \sin{2\theta} = 20\cos{2\theta} \implies \sin{2\theta} = \cos{2\theta} $$

Resolver esto trigonométrico obtenemos nuestras soluciones generales para $\theta$ como:

$$ \theta = \frac{1}{8}(4\pi \ * n \ + \ \pi ) ; \ n \in{Z} $$

Configuración $n$ = $0$ , se obtiene la primera solución: $\frac{\pi}{8}$ .

Con múltiples valores de $n$ obtenemos múltiples valores de $\theta$ y por lo tanto se puede encontrar $4$ valores de $\theta$ en el intervalo $[0,2\pi]$ y por lo tanto tiene su múltiples puntos de intersección.