Cálculo de una acción de Galois sobre elementos como un polinomio

Question

Estoy tratando de entender cómo realizar las acciones de Galois en las raíces a través de polinomios.

Si tomamos la extensión del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ con generador $\sqrt{2}$ y el polinomio mínimo $f(x) = x^2 - 2$ podemos ver que las dos raíces son $\sqrt 2,-\sqrt 2$ y así el polinomio $\sigma(x) = -x$ realiza la acción de Galois intercambiando las dos raíces. Funciona de la misma manera con $\sqrt{3}$ .

Tenga en cuenta que $\sigma$ es no es realmente un automorfismo de campo y que depende del elemento $\sqrt{2}$ de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Si actuáramos en $a + b\sqrt{2}$ entonces necesitaríamos el polinomio $x \mapsto 2a - x$ .

Si ahora tomamos el campo más grande $L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ , entonces tenemos el $\mathbb{Q}$ -base del espacio vectorial $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2}\sqrt{3}\}$ para $L$ y podemos ver que la acción de Galois está generada por $\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$ y $\sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}$ , ambos realizados por el polinomio $\sigma(x)$ .

Sin embargo, si tomamos la $\mathbb{Q}$ -generador de álgebra $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ para $L$ entonces, aunque la acción de Galois sobre $\alpha$ se ve que invierte los signos de los dos términos, esta acción es generada ahora por los polinomios $\sigma(x) = -x$ y $\tau(x) = x^3 - 10x$ .

¿Cómo se pueden calcular estos polinomios $\sigma, \tau$ ? Si conocemos todos los conjugados de $\alpha$ bajo la acción de Galois, y utilizando el hecho de que $\alpha$ genera $L/\mathbb{Q}$ como un álgebra, entonces al expresar un conjugado $\bar{\alpha}$ en la base $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$ habremos encontrado un polinomio para $\bar{\alpha}$ de grado $\leq 3$ en $\alpha$ . ¿Cuál es la forma más eficaz de hacerlo? ¿Ayuda saber que el polinomio mínimo de $\alpha$ es $m(x) = x^4 - 10x^2 + 1$ ?

Dado cualquier elemento de $L$ Me gustaría poder expresar la acción sobre ella mediante polinomios.

En algunos casos el polinomio no estará definido sobre el campo base o los conjugados no estarán en la extensión del campo. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ la acción sobre $\sqrt[3]{2}$ viene dada por el polinomio lineal $x \mapsto \zeta_3x$ . Pero entonces qué pasa con los conjugados del elemento $a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}$ ?

Answer 1

Se puede pensar en ellos como los polinomios de interpolación de una permutación dada de $\alpha$ y sus conjugados.

Si se representa un objeto de permutación como un conjunto de puntos $\{(x_i,y_i)\}$ entonces el grupo de Galois actúa naturalmente sobre esos conjuntos, y el grupo también actúa sobre los coeficientes del polinomio interpolador que pasa por esos puntos. Resulta que la acción es la misma en ambos casos.

Así que se obtienen coeficientes racionales si y sólo si la permutación con la que se empezó, como conjunto de parejas de elementos de $L$ es a su vez invariante por el grupo de Galois. Y si no lo es, los coeficientes tienen que vivir en el subcampo correspondiente.