$A\cup B$ está conectado cuando$A$ está conectado en$X$ y$B$ clopen en$X-A$

Question

Deje que$A$ sea un subconjunto conectado de un espacio conectado$X$, y$B\subset X-A$ sea un conjunto abierto y cerrado en la topología del subespacio$X-A$ del espacio$X$ . Probar que$A\cup B$ está conectado.

Creo que la idea es mostrar el punto límite de$A$ está en$B$ o viceversa. Pero no tengo idea de cómo mostrarlo. Me estoy preparando para la calificación, así que por favor hazlo por mí ... Gracias por la ayuda ...

Answer 1

Voy a utilizar la siguiente caracterización (número 3 en la Wikipedia): Un espacio topológico $X$ está conectado iff $\varnothing$ $X$ son la única clopen (cerrado y abierto) de subconjuntos de a $X$. También, supongamos $A\neq\varnothing$, de lo contrario la pregunta es trivial.

Deje $C$ ser clopen en $A\cup B$. Yendo al complemento (en $A\cup B$) si es necesario, asumir que $C\cap A\neq\varnothing$. Desde $C\cap A$ es también clopen en $A$,$C\cap A=A$, $A\subseteq C$ (de modo que, en particular, $C\neq\varnothing$).

Desde $B$ es clopen en $X\setminus A$, entonces no existe $U_B$ abierta en $X$ $F_B$ cerrado en $X$ tal que $B=(X\setminus A)\cap U_B=(X\setminus A)\cap F_B$$B=U_B\setminus A=F_B\setminus A$. Del mismo modo, desde la $C$ es clopen en $A\cup B$ existe $U_C$ abierto y $F_C$ cerrado en $X$ tal que $C=(A\cup B)\cap U_C=(A\cup B)\cap F_C$.

Set $D=(A\cup B)\setminus C=B\setminus C$ (debido a $A\subseteq C$), el complemento de a$C$$A\cup B$. Entonces \begin{align*} D&=B\setminus C=(U_B\setminus A)\setminus C=U_B\setminus C=U_B\setminus(F_C\cap(A\cup B))\\ &=(U_B\setminus F_C)\cup( U_B\setminus (A\cup B))=U_B\setminus F_C \end{align*} debido a $U_B\setminus(A\cup B)=(U_B\setminus A)\setminus B=B\setminus B=\varnothing$, lo $D=U_B\setminus F_C$ está abierto en $X$. Del mismo modo, $D=F_B\setminus U_C$ también está cerrado en $X$, lo $D$ es un clopen en $X$ y su complemento contiene $C$, que no está vacía. Por lo tanto, $D=\varnothing$, debido a $X$ está conectado.

Por lo tanto, $A\cup B=C\cup D=C$, y esto demuestra que $A\cup B$ está conectado.