Ciclo de homologo nulo

Question

Deje que$\gamma$ sea un ciclo en el conjunto abierto$A$. Supongamos que para todas las funciones analíticas$f:A\to \mathbb{C}$ tenemos ese$\int\limits_\gamma f(z)dz=0$. ¿Sigue que$\gamma$ es nulo homólogo?

Answer 1

Sí. Si$\gamma$ no es homólogo a cero, entonces existe$z_0 \in \mathbb{C} \setminus A$, por lo que el número de devanado de$\gamma$ sobre$z_0$ es distinto de cero. Ahora, toma la función$f(z) = 1/(z - z_0)$. Luego$f$ es analítico en$A$ y el teorema de residuos nos dice que$\int_{\gamma} f(z) \, dz \neq 0$.