¿Error en la prueba de álgebra de Hungerford? Izquierda id & inv = grupo

Question

La proposición 1.3 en Hungerford del Álgebra dice que si $G$ es un semigroup y existe a la izquierda de la identidad y de cada elemento tienen una izquierda inversa, a continuación, $G$ es un grupo. La prueba (y de hecho, incluso la proposición de sí mismos) supone implícitamente que la izquierda identidad es única, pero no acabo de ver cómo se podía demostrar. Es este un error, o es que hay una forma de demostrar que?

EDIT: por definición, esta es la exacta declaración:

La proposición 1.3. Deje $G$ ser un semigroup. A continuación, $G$ es un grupo si y sólo si se dan las siguientes condiciones:

(i) No existe un elemento $e\in G$ tal que $ea=a$ todos los $a\in G$ (a la izquierda elemento de identidad);

(ii) Para cada una de las $a\in G$, existe un elemento $a^{-1}\in G$ tal que $a^{-1}a=e$ (a la izquierda inversa).

EDIT: a la luz de la discusión sobre el alcance del cuantificador, la respuesta a continuación mostró que es comprobable tan largo como el cuantificador en (i) rango de todo el camino a incluir (ii). Yo todavía deseo preguntarle si podemos demostrar que incluso si el cuantificador solo rango dentro de (i), es decir,. (ii) debe ser interpretada como: para cada una de las $a\in G$, existe un elemento $a^{-1}\in G$ tal que $a^{-1}a=e$ donde $e$ es uno de aquellos que se quedaron identidades.

Answer 1

Vamos a empezar por demostrar que la izquierda inversas, también a la derecha inversos. Tomar algún elemento $g$ desde el grupo, y denotan una izquierda identidad por $e$. Entonces sabemos que

$$ g^{-1} = eg^{-1} = (g^{-1}g)g^{-1} = g^{-1}(gg^{-1}).$$

Esto significa que

$$ e = (g^{-1})^{-1}g^{-1} = (g^{-1})^{-1}\left(g^{-1}(gg^{-1})\right) = \left((g^{-1})^{-1}g^{-1}\right)gg^{-1} = egg^{-1} = gg^{-1},$$

así que la izquierda inversa es también un derecho inversa. Aviso que no utilizamos derecho a la identidad o a la derecha inversa hasta el momento. Con esto, demostrando que la izquierda de la identidad es también un derecho de identidad es muy fácil.

$$ g = eg = (gg^{-1})g = g(g^{-1}g) = ge,$$

y por lo tanto a la izquierda de la identidad y la izquierda inversos son en realidad también es un derecho de identidad y derecho de los inversos.

Con esto, usted puede llevar a cabo el estándar de la prueba de que las identidades y los inversos son únicos. Supongamos $e, e'$ son dos identidades. Entonces

$$e = ee' = e'.$$

Supongamos $h, h'$ ambos son inversos a $g$. Entonces

$$ h = he = h(gh') = (hg)h' = eh' = h'.$$

Así, obtenemos la singularidad y a la derecha-dad de tener justo a la izquierda de la identidad y la izquierda inversa. $\diamondsuit$

Answer 2

He separado esta respuesta, porque se basa en una edición y una mala lectura de la declaración original de Hungerford.

Pero supongamos que hay al menos una a la izquierda de la identidad llama $e$, y a cada elemento $g$ tiene una "suelta la izquierda inversa" $g^{-1}$ tal que $g^{-1}g$ está a la izquierda de la identidad, que puede o no ser $e$.

Entonces no podemos concluir que el $G$ es un grupo.

Por ejemplo, considere los dos elemento semigroup con la tabla de multiplicación

$$\begin{array}{l|ll} G & e & g \\ \hline e & e & g \\ g & e & g \end{array}$$

En este caso, cada elemento es a la izquierda de la identidad. Para el caso, cada elemento es un "suelto izquierda inversa" de si mismo y el otro elemento.