Problema I.3.18 en Hartshorne

Question

Problema I. 3.18 b-c en Hartshorne se refiere a la superficie de la $Y$ $\mathbb{P}^3$ dada en forma paramétrica por $(x,y,z,w) = (t^4,t^3u,tu^3,u^4)$. En particular, la parte c pide a demostrar que $Y$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$. Reviso a dos diferentes soluciones disponibles en línea, y ambos afirman que $Y$ es la imagen de la $4$-tupla de la incorporación de la $\mathbb{P}^1$. Sin embargo, el $4$-tupla de la incrustación de toma $\mathbb{P}^1$ a $\mathbb{P}^4$ e no $\mathbb{P}^3$. Este no es el caso con $Y$, debido a que hay un monomio término que falta, es decir,$t^2u^2$. Así que me pregunto qué es un riguroso argumento para mostrar que $Y$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$.

Answer 1

El 4-tupla de la incrustación de con $x^2 y^2$ que falta es todavía surjective, como se ve en la paramaterization de Y, y es todavía bien definido sin ese término, es decir, la imagen no está en todas partes 0.

Solo necesitamos comprobar inyectividad, lo cual se puede hacer mediante la búsqueda de un bien definido inverso de morfismos. Pero dado que los morfismos el envío de $[x:y]$ $[x^4:x^3y:xy^3:y^4]$podemos ver cómo queremos definir. Es decir, en el afín conjunto abierto donde $w$ es distinto de cero, vamos a enviar nuestro punto de a $[z:1]$, y en el afín conjunto abierto donde $x$ es distinto de cero, vamos a enviar nuestro punto de a $[1:y]$. Tenga en cuenta que en la intersección de los bloques abiertos donde $x$ $y$ son cero, la imagen de $[x:y]$ también fue igual a $[t^4:t^3:t:1]$ $[1:u:u^3:u^4]$ donde$t = \frac{x}{y}$$u=\frac{y}{x}$, por lo cual vemos que esto es a la inversa.

Se verifica que este bien definidas en la intersección de estos dos conjuntos (que cubren Y como siempre tenemos $t$ o $u$ no cero), y por lo tanto nuestro morfismos fue inyectiva y por lo tanto un isomorfismo.