cómo calcular el valor de$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ax}}{\cosh x}\,dx$

Question

Así que tengo que evaluar$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ax}}{\cosh x} \, dx$ $

Intenté tomar la expansión analítica e integrarme sobre el eje real. Tomé esto como un semicírculo de$-\infty$ a$\infty$, menos el arco del círculo. sobre el arco probé que la integral es cero, y solo me queda una suma de los residuos de la función. Con la ayuda de una pregunta anterior, calculé los valores de los residuos, pero no pude lograr la convergencia de la suma.

La ayuda será muy apreciada.

Answer 1

El truco habitual para esta integral es tomar un contorno rectangular con vértices$\pm R$ y$\pm R+\pi i$ y dejar que$R\to\infty$. Este contiene solo un polo, simple en$z=\pi i/2$, y la integral sobre el borde superior está estrechamente relacionada con la del borde inferior (la que te interesa).

Answer 2

Suponiendo que$a\in(-1,1)$ dicha integral es igual a$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{\cosh x}\,dx = 2 \int_{0}^{+\infty}\frac{\cosh(ax)}{\cosh x}\,dx =\frac{\pi}{\cos\frac{\pi a}{2}}\tag{1}$ $, por ejemplo, explotando$$ \int_{0}^{+\infty}\cosh(ax) e^{-(2m+1)x}\,dx =\frac{(2m+1)}{(2m+1)^2-a^2}\tag{2}$ $$$ \sum_{m\geq 0}\frac{(2m+1)(-1)^m}{(2m+1)^2-a^2}\stackrel{\text{Herglotz trick}}{=} \frac{\pi}{4\cos\frac{\pi a}{2}}.\tag{3}$ $