Si$f(n) \in \mathbb{Z}$ para un número infinito de$n \in \mathbb{Z}$, entonces$f \in \mathbb{Q}[x]$.

Question

¿Crees que la siguiente afirmación es cierta? ¿Tienes alguna idea sobre la prueba?

Deje que$\; f(x) \in \mathbb{C}[x]$ sea un polinomio. Si$f(n) \in \mathbb{Z}$ para un número infinito de$n \in \mathbb{Z}$, entonces$f \in \mathbb{Q}[x]$.

Answer 1

Los siguientes usos demasiado maquinaria: yo soy la pereza.

Supongamos que $P(x)=w_0+w_1x+\cdots +w_{n-1}x^{n-1}$, donde el $w_i$ son números complejos.

Deje $b_1$ $b_n$ser distintos números enteros tales que a $P(b_i)=m_i$ donde $m_i$ es un número entero.

Esto produce que el sistema de $n$ ecuaciones lineales $$w_0+b_iw_1+b_i^2w_2+\cdots +b_i^{n-1}w_{n-1}=m_i$$ ($i=1,2,\dots, n$).

Vamos a demostrar que el sistema tiene soluciones racionales $w_i$. Esto es sencillo, siempre y cuando se demuestra que el $n\times n$ matriz con $i$-ésima fila $$1\quad b_i \quad b_i^2 \quad b_i^3\quad \cdots\quad b_i^{n-1}$$ es invertible.

Pero que la matriz es la conocida matriz de Vandermonde, y es invertible.