Es $i = \sqrt{e^{\pi\sqrt{e^{\pi\sqrt\ldots}}}}$?

Question

Yo estaba jugando con la identidad $e^{i\pi}=-1$ y tengo que $i = \sqrt{e^{\pi\sqrt{e^{\pi\sqrt\ldots}}}}$. Me conecté a una calculadora y era infinito. Creció muy rápido. Eso hace que $i$ solucionable?

Answer 1

Estoy asumiendo que para llegar a esa conclusión, que llevó a la raíz cuadrada de ambos lados y tengo: $$\sqrt{e^{i\pi}}=i$$ lo cual es correcto. A continuación, en el lado izquierdo, sustituido por $i$ usando esta igualdad para obtener $$\sqrt{e^{\pi\sqrt{e^{i\pi}}}}=i$$ que todavía está bien - y, a continuación, intenta hacerlo infinitamente a menudo, y he aquí que, en la quiebra!

El principal problema es que, supongamos que nos vamos a $$f(x)=\sqrt{e^{\pi x}}.$$ Lo que has demostrado cantidad al hecho de que $f$ tiene lo que se llama un punto fijo en $i$ - es $$f(i)=i.$$ Y esto implica cosas como $$f(f(i))=i$$ $$f(f(f(i)))=i$$ o, en el que dejemos de $f^n(i)$ $f$ aplicado a $i$ repetidamente $$ n veces, obtenemos $$f^n(i)=i.$$ Hasta ahora tan bueno. Sin embargo, si queremos hacer sentido de una expresión que es, básicamente, un infinito nido de la función $f$ con ningún valor de partida, sería que, no importa lo que $x$ empezamos con la secuencia $$(x,f(x),f^2(x),f^3(x),\ldots)$$ - llama la órbita de $x$ bajo $f$ - siempre convergen a $i$ - y como se puede ver, este no es el caso.

Un simple ejemplo de la diferencia entre "tiene un punto fijo" y "converge a algo" sería si tomamos $$f(x)=2x$$ que tiene un punto fijo en $x=0$. Si deseamos pensar en la expresión $$2\cdot (2\cdot (2\cdots)))$$ esperamos que $f$ tendría que $(x,f(x),f^2(x),\ldots)$ convergente para cualquier valor de $x$, pero sólo converge para $x=0$ - de lo contrario, la secuencia de $f^n(x)=2^nx$ que diverge. Su función actúa de igual manera, pero es más difícil de visualizar, ya que tiene lugar en el plano complejo. Así que, de hecho, no se puede "calcular" $i$ el uso de este método - la serie simplemente se separan. Sin embargo, para cualquier finito número de aplicaciones, su identidad es correcta.

Answer 2

Si usted toma $$\exp(i\pi)=-1=i^2\implica i=\sqrt{\exp(i\pi)}=\sqrt{\exp(\pi\sqrt{\exp(i\pi)})}$$ Así que la identidad correcta debería ser: $$i=\sqrt{\exp(\pi\sqrt{\exp(\pi\sqrt{\exp(\pi\ldots)})})}$$ No se puede evaluar de izquierda a derecha, usted necesita evaluar de derecha a izquierda. Tenga en cuenta que el último término en un caso sería de $\exp(i\pi)$ que las normales calculadoras no pueden evaluar.