¿Por qué debería$2^{\aleph_0}$ ser la cardinalidad máxima para espacios regulares con bases contables?

Question

Un espacio normal $X$ es un espacio topológico para que un punto conjuntos son cerrados y para cada $x\in X$, y para cada conjunto cerrado $C\subset X\backslash \{x\}$, existen abiertos disjuntos conjuntos que contengan $x$$C$, respectivamente.

Suponga $X$ es regular y tiene una contables. En la prueba de la Urysohn Metrization Teorema, se muestra que la $X$ por lo tanto puede ser incrustada en $\mathbb{R}^\omega$. Desde imbeddings son inyectiva, una consecuencia interesante de esto es que $\text{card}(X)\leq 2^{\aleph_0}$.

Pero este hecho nunca habría sido intuitivo para mí sin el metrization teorema, que requiere de Urysohn del lema a probar. ¿Alguien sabe de una forma más rápida para ver por qué esto debe ser verdad? También, las condiciones de estar relajado en alguna manera de obtener el mismo resultado?

Answer 1

De hecho,$2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad máxima para un espacio T$_0$ con una base contable. Supongamos que$X$ es un T$_0$ espacio y$\mathcal B$ es una base para la topología de$X.$ Entonces, el mapa$x\mapsto\{B\in\mathcal B:x\in B\}$ es una inyección, que muestra que$|X|\le2^{|\mathcal B|}.$