En la ecuación de Pell cúbico$x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz =1$ para$d = 23$ etc.

Question

(Este post fue motivado por un viejo.) Para ecuaciones de Pell,

$$x^2-dy^2 = 1\tag{1}$$

y $d<100$, la más grande de la solución fundamental es $d = 61$ (que pasa a ser el 6 de potencia de una unidad fundamental),

$$x+y\sqrt{61} = 1766319049+226153980\sqrt{61} =\left(\frac{39+5\sqrt{61}}{2}\right)^6$$

En general, para el prime $d = 8n+5$ e impar solución fundamental a $u^2-dv^2=-4$, entonces la solución inicial a $(1)$ será la 6ª potencia y por lo tanto enorme. Para el cúbicos analógica,

$$x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz = 1\tag{2}$$

como la Pell, a partir de una solución inicial, un infinito más se puede encontrar. Pero, ¿cómo podemos caracterizar "difícil" $d$ tal que los más pequeños de positivos $x,y,z$ $(2)$ son en realidad relativamente grandes. (A partir de datos limitados, creo que el primer $d = 12n-1$ es un subconjunto).

Pregunta: Alguien sabe cómo encontrar a $d=23,47,59,71$$(2)$?

(P. S. 1 sería suficiente para encontrar a la "pequeña" firmado $x,y,z$ ya que se puede derivar de los positivos de aquellos. Por ejemplo, para$d=11$$x,y,z = 1,4,-2$, se puede derivar $x,y,z = 89, 40, 18$.

(P. S. 2 Útiles detalles se pueden encontrar en Springer es El Cúbicos Analógica de la Ecuación de Pell.)

Answer 1

Era la pregunta a resolver,

$$x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz = 1\tag{1}$$

para $d = 23, 47, 59, 71$. (Nota: La ecuación de $(1)$ pueden ser resueltos en los números enteros para todos los no-cubo entero $d$.) Seiji Tomita ha hecho más y crea una tabla de soluciones fundamentales para los no-cube $d<100$. El mayor de los "más pequeños" $x,y,z$ encontrado hasta el momento es de $d = 69 = 3\cdot23$,

$$x,y,z ={13753611475894008059401,\;-5630668308465438120720,\; 555253697459615284770}$$

A partir de esto, se puede derivar el "más pequeño" solución positiva a las $(1)$ $d = 69$ (y de la que un infinito más se puede encontrar),

$$x,y,z = 404886837053487091694212951195653956127452401,\; 98715184393700556938337454013404500951638820,\; 24067681974543893805323831567684099602695630$$

De forma análoga a las ecuaciones de Pell, el $x/y, y/z$ son cerca de $69^{1/3}$ (en $10^{-68},10^{-67}$, respectivamente). Los ratios de mayor positivos $x,y,z$ va a obtener cada vez más y más a $d^{1/3}$.

P. S. Pell ecuaciones aparecen en muchos contextos, y que puede resolver otros Diophantine ecuaciones, como $x_1^3+x_2^3+x_3^3=1$. Ahora $(1)$ parece ser sólo una curiosidad matemática, pero tal vez algún día, alguien, en algún lugar puede utilizar para probar que tal-y-tal ecuación tiene un número infinito de entero de soluciones.