Resuelve la ecuación integral$f(x) = x + \lambda \int_0^1 f(z)\,dz$

Question

Encuentre una solución de formato cerrado para$f(x)$ en la siguiente ecuación

$$f (x) = x + \ lambda \ int_0 ^ 1 f (z) \, dz$$ donde$\lambda$ es una constante

Intenté integrar ambos lados desde$0$ a$1$ pero no estaba muy seguro de a dónde ir

$$\ int_0 ^ 1 f (x) = \ int_0 ^ 1 \ left [x + \ int_0 ^ 1 f (z) \, dz \ right] dx$$

Answer 1

Si usted diferenciar ambos lados w.r.t. $x$, consigue $f'(x) = 1$.

Por lo tanto, $f(x) = x+C$ para algunas constantes $C$. Sustituyendo esto en la producción:

$x+C = x+\lambda \displaystyle\int_{0}^{1}(x+C)\,dx$

$x+C = x+\lambda\left(\dfrac{1}{2}+C\right)$

$C = \dfrac{\lambda}{2}+\lambda C$

$C = \dfrac{\lambda}{2(1-\lambda)}$.

Por lo tanto, la solución es $f(x) = x+\dfrac{\lambda}{2(1-\lambda)}$ (asumiendo $\lambda \neq 1$).

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También, su enfoque de trabajo. Para mayor comodidad, vamos a $I = \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$. A continuación, se obtiene:

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left[x+\lambda\int_{0}^{1}f(z)\,dz\right]\,dx$

$I = \displaystyle\int_{0}^{1}(x+\lambda I)\,dx$

$I = \dfrac{1}{2}+\lambda I$

$I = \dfrac{1}{2(1-\lambda)}$

Así, la solución es $f(x) = x+\lambda\displaystyle\int_{0}^{1}f(z)\,dz = x+\lambda I = x+\dfrac{\lambda}{2(1-\lambda)}$, lo que concuerda con el resultado de nuestro primer método.

Answer 2

$f(x)-x$ es igual a la constante$k=\lambda \int_0^1f(z) dz$ y el resto es obvio.