¿Es la norma de la función$L^{2}$ igual al límite dado?

Question

Deje $g$ ser $L^{2}$ función en $[0,2]$, con respecto a la medida de Lebesgue $m$. Es cierto que $$||g||_{1}=\lim_{p\to 1}\left(\int |g|^{p}~dm\right)^{1/p}?$$

Realmente no estoy seguro de cómo hacer frente a este problema. Estoy. suponiendo que la integral es asumida $[0,2]$, pero no se dan de manera explícita en la declaración. Sé que $\left(\int_{0}^{2}|g(x)|^{2}~dx\right)^{1/2}<\infty$ desde $g\in L^{1}([0,2])$, por lo que mi intuición es que el cuestionado la igualdad no tiene. Sin embargo, no estoy seguro de si esto es correcto, y si es así, no estoy seguro de cómo demostrarlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Considerar el mapa $$ h(p):=\int_{[0,2]}|g|^p. $$ Esto es suficiente para mostrar que $h$ es continua en a$p=1$ desde entonces el mapa $$ p\mapsto \|g\|_p=\exp\left(\frac{\log(h(p))}{p}\right) $$ también es continua en a$p=1$.

Con el fin de mostrar que $g$ es continua en a$p=1$, todo lo que usted necesita es el teorema de convergencia dominada. Pero $L^2\supset L^p$ para todos los $0<p<2$ desde que usted está en un espacio finito de medida. Así que usted tiene un natural dominado función de $|g|^2$desde $$ \|g\|_p\leq\|g\|_22^{1/p-1/2}. $$