¿Para qué se necesita la suavidad?

Question

Podemos definir un nudo como

(1) una incrustación suave $S^1 \hookrightarrow \mathbb R^3$

o

(2) una curva cerrada simple y lineal a trozos en $\mathbb R^3$

Entonces estas dos definiciones son equivalentes, lo que supongo que significa que si $K$ es un nudo en el sentido de $(1)$ entonces podemos encontrar una isotopía para convertirlo en un nudo en el sentido de $(2)$ . (corrígeme si está mal)

Pregunta 1: ¿Podríamos eliminar el requisito de suavidad en $(1)$ ¿y aún así obtener una definición equivalente? Supongo que no, pero no veo por qué. Digamos que si exigimos que la incrustación sea diferenciable me parece que también es lineal a trozos.

Pregunta 2: ¿Cómo son los mapas suaves? ¿En qué debo pensar cuando pienso en mapas suaves? Puedo pensar en $e^x$ pero eso parece inútil.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Es cierto que se puede isotopar un mapa lineal a trozos a un mapa suave arbitrariamente cercano.

Respuesta a 1 : No, no se puede. La suavidad de la incrustación excluye " nudos salvajes ", que no son localmente planas:

Por ejemplo, el complemento de un nudo salvaje de este tipo tiene un grupo fundamental infinitamente generado. Estas patologías quedan fuera de la noción intuitiva de "nudo", por lo que la definición las excluye.

Además de excluir los problemas, la suavidad también permite utilizar las herramientas de la topología diferencial. Los nudos están íntimamente relacionados con la topología de los tres macizos. Por ejemplo, consideremos que un nudo está incrustado en la esfera tridimensional en lugar de $\mathbb{R}^3$ . Eliminar un barrio de los tubos del nudo y la cola en un toro sólido por alguna clase de mapeo de los automorfismos del toro. El resultado es un tríptico cerrado. (De hecho, es un teorema de, creo, Lickorish que todos los tres-manifolds orientados cerrados pueden ser obtenidos por una operación de este tipo en los enlaces de la tres-esfera).

Hemos utilizado que el nudo tiene una vecindad tubular en esta construcción, que es un objeto asociado a un suave submanifold en un colector liso.

Respuesta a 2 : Los mapas suaves son funciones infinitamente diferenciables. Las funciones exponenciales, polinómicas, trigonométricas e hiperbólicas estándar son todas suaves. En este caso, piensa en una curva $\gamma:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ que es periódica y tiene funciones de coordenadas que son todas infinitamente diferenciables como las funciones que has aprendido en el cálculo. Por ejemplo, el nudo más simple se puede escribir así: $u(t) = (\cos{t},\sin{t},0)$ .

Answer 2

Para tu primera pregunta, no puedes eliminar el requisito de suavidad. Esto es para evitar que la definición estándar de nudo incluya los llamados "nudos salvajes", como se ve aquí:

En cuanto a la segunda pregunta, puedes pensar (al menos yo lo hago, en cierto sentido) que los mapas suaves son el análogo de mayor dimensión de las curvas suaves con las que has tratado desde tu primer curso de cálculo. Admiten derivadas de todos los órdenes y, por tanto, evitan singularidades como las cúspides y la autointersección. Alguien con más conocimientos que yo sobre este tema seguramente intuirá mejor esta idea.