Investigaciones poco conocidas/originales/interesantes sobre/aplicaciones de la inversión (la transformada geométrica)

Question

Transformada de inversión con centro (o polo) $C$ y potencia $k^2$ se define por:

$$\tag{1}J_{C,k}:M \leftrightarrow M' \ \ \ \ \ \iff \ \ \ \ \ \ \ \vec{CM'}=\frac{k^2}{||\vec{CM}||^2} \ \vec{CM} $$

Se trata de una transformación "involutiva": $M'$ es la imagen de $M$ si $M$ es la imagen de $M'$ . Esto explica la doble flecha.

Esta transformación, acreditada por Magnus y más o menos al mismo tiempo a Plücker a principios de la década de 1830, se detalla en muchos libros/sitios web.

Véase en el Apéndice 1 un comentario sobre las propiedades de inversión mostradas en la Fig. 1.

Fig. 1. : Inversión con centro $C$ y potencia 1. Las formas en negro se intercambian por inversión con las formas en rojo. El círculo azul, llamado "círculo de inversión", es el lugar de los puntos invariantes.

Pero hay características poco conocidas que me gustaría reunir.

Además, me gustaría ampliar esta "búsqueda" a cuestiones/aplicaciones interesantes (no totalmente estándar) de la inversión.

Para iniciar esta "colección", propongo 3 temas y un compendio de hechos interesantes:

1. "Inversión de la copa de champán" : La Fig. 2 muestra cómo la inversión con centro $C$ y radio de inversión $k$ (volvemos a encontrar el pez grande y el pequeño, imágenes invertidas una de la otra...) puede realizarse mediante 3 pasos $P\Gamma P^{-1}$ operación con respecto a un paraboloide $\Pi$ , donde:

• $P$ es la proyección vertical desde $\Pi$ en el plano horizontal, y

• $\Gamma$ es la proyección cónica desde $\Pi$ a $\Pi$ con centro $C_0(a,b,a^2+b^2-k^2)$ donde $(a,b)$ son las coordenadas de $C$ .

Esta forma no clásica de describir la inversión merece una explicación que hemos colocado en el Apéndice 2.

Fig. 2. Inversión mediante una proyección cónica $\Pi \to \Pi$ .

2. "Inversión de la burbuja" Se trata de una representación prima de la primera con una esfera en lugar de una parábola (véase la Fig. 3). Es necesario utilizar 2 pasos con las dos proyecciones estereográficas $S_N$ y $S_S$ del polo Norte y Sur respectivamente con respecto al plano ecuatorial. Observe la Fig. 3.

Consideremos una figura determinada, digamos el círculo en rojo. Se transforma por $S_N$ en el círculo de la esfera unidad materializado por pequeños rombos negros ; este círculo se transforma a su vez por $S_S$ en el círculo azul del plano ecuatorial... que es la imagen inversa del círculo rojo inicial. Dicho brevemente :

$$\tag{$ \estrella $}I=S_S \circ S_N$$

Esto no debería sorprender, ya que las proyecciones estereográficas son en sí mismas inversiones 3D.

Ver ( composición de las proyecciones estereográficas es la inversión a través de la bola - una forma geométrica ) para obtener una prueba.

Fig. 3. Inversión (plana) realizada combinando dos proyecciones estereográficas (fórmula ( $\star$ )).

3. " Relación entre la transformada de inversión y el álgebra lineal "(de hecho relacionado con el punto 1) ; esta cuestión parece paradójica porque la inversión no es en absoluto una transformación lineal. De hecho, existe un grupo, el grupo analagmático, con un $4 \times 4$ representación lineal (también llamada grupo de geometría conforme). Además, este grupo incluye otra categoría de transformaciones no lineales, las traslaciones. Referencia: el muy buen libro "Riemannian Geometry" de S. Gallot, D. Hullin, J. Lafontaine, 2ª edición 1993. Universitext, Springer, páginas 175-176. He aquí cómo se hace esta correspondencia (Las explicaciones se encontrarán en este libro o en el desarrollo muy interesante de @MvG citado en 4a):

$$\text{If} \ J \ \text{is the basic inversion (center 0, power 1):}$$ $$[J]:=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}.$$ $$\text{If} \ H_r \ \text{is the homothety with ratio} \ r \ \text{and center} \ 0: $$ $$[H_r]:=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&r&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r^2\end{pmatrix}.$$

$$\text{If} \ T_V \ \text{is the translation by vector} \ V=\binom{a}{b} :$$ $$[T_V]:=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\2a&1&0&0\\2b&0&1&0\\a^2+b^2&a&b&1\end{pmatrix}.$$

Todas estas transformaciones preservan la siguiente forma cuadrática:

$$q(x_0;x_1,x_2,x_3):=x_1^2+x_2^2-x_0x_3$$

donde $x_0$ debe considerarse como una coordenada homogénea (es decir, hay que tener en cuenta la dimensión proyectiva). La firma de $q$ en $(+++-)$ estamos tratando con elementos del grupo clásicamente denotado $O(3,1)$ .

Esta correspondencia con las transformadas 2D puede extenderse de forma sencilla a dimensiones superiores (para $n$ D, la correspondencia es con $(n+2) \times (n+2)$ matrices).

4. Esta referencia (saltar a las diapositivas a partir de la diapositiva 130) utiliza el álgebra lineal en $SL(2,\mathbb{C})$ .

5. (específico para el caso 2D): Representación compleja :

Inversión con el círculo unitario $S^1=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|=1$ } como círculo invariante es el mapa

$$I : \begin{cases}\ \begin{array}{ccc}\mathbb{C}\setminus\{0\}&\longrightarrow&\mathbb{C}\setminus\{0\}\\z&\mapsto&\frac{1}{\overline z}\end{array}\end{cases}$$

Resultado : Cualquier rotación (2D) puede obtenerse como una cierta combinación de traslaciones e inversiones.

Es una consecuencia de la siguiente identidad (dada en https://mathoverflow.net/q/19965 ) :

$$e^{i \theta} + \frac{1}{-e^{-i \theta} + \frac{1}{e^{i \theta} + \frac{1}{z}}} = - e^{2 i \theta} z. \tag{%}$$

Si conjugamos ambos lados de (%), obtenemos :

$$e^{-i \theta} + \frac{1}{\overline{-e^{-i \theta} + \frac{1}{\overline{e^{-i \theta} + \frac{1}{\overline{z}}}}}} = - e^{-2 i \theta}\overline{z}. \tag{%%}$$

(El LHS de (%%) puede escribirse simbólicamente como : $T_{e^{-i \theta}}\circ I \circ T_{-e^{-i \theta}} \circ I \circ T_{e^{-i \theta}} \circ I$ ).

Si tomamos $\theta=0$ en (%%), se obtiene :

$$1+ \frac{1}{\overline{-1 + \frac{1}{\overline{1 + \frac{1}{\overline{z}}}}}} = - \overline{z}. \tag{%%%}$$

(Tenga en cuenta la barra de conjugación).

6. Preservación de la relación cruzada:

$$\dfrac{AC.BD}{BC.AD}=\dfrac{A'C'.B'D'}{B'C'.A'D'}$$

(véase la figura 4).

Fig. 4: Conservación de la relación cruzada.

Esta propiedad (preservación de la relación cruzada) es compartida con las transformadas proyectivas.

(cuidado: la imagen del segmento de línea $AB$ no es segmento de línea $A'B'$ por ejemplo). Para una prueba, véase la presentación muy didáctica aquí donde crossratio se utiliza para definir la distancia de geometría hiperbólica.

7. Un compendio de documentos/temas interesantes

• a) Vea el pase de diapositivas ( http://www.cis.umac.mo/~fstitl/2013geometría/esterografía.pdf ).

• b) Un análisis en profundidad de MvG en ( https://math.stackexchange.com/q/866403 ) relacionado con el grupo conforme analizado en 3).

• c) Estudio de torii, ciclidos Dupin, etc. en relación con la inversión 3D : ( invertir un cono en un toroide ).

• d) Respuestas que he dado ( https://math.stackexchange.com/q/3599762 ) y ( https://math.stackexchange.com/q/2621344 ) explicando por qué, localmente, en la vecindad del círculo de inversión, la inversión se comporta como una simetría. Esto también se trata con elegancia en la ref. 3a).

• e) Una aplicación a los centros de Voronoi ( https://math.stackexchange.com/q/2378365 ).

• f) Ampliación de un problema de OMI resuelto por inversión/proyección estereográfica ( https://pdfs.semanticscholar.org/3bcb/00d463fceb26ab103c9a3757ee85398eb187.pdf ).

• g) Un documento MAA para la formación de las Olimpiadas Matemáticas en torno a la inversión : https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ebooks/pdf/EGMO_chapter8.pdf

• h) Otro artículo de MAA "The foundations of inversive geometry", Alan J. Hoffmann (1951): https://www.ams.org/journals/tran/1951-071-02/S0002-9947-1951-0044137-1/S0002-9947-1951-0044137-1.pdf

• i) Otros : este excelente documento o éste o esto documento wiki o este otro documento wiki . Este pregunta y sus respuestas.

• j) Inversión con respecto a (otras) cónicas: véase este (en francés).

• k) Dos artículos de J.B. Wilker et al. "The Apollonian Octets and an Inversive Form of Krause's Theorem" y "Apollonius by inversion" (Revista de Matemáticas).

• l) Otros : http://jwilson.coe.uga.edu/EMT600/STORAGE/Inversion/inversion.html

Mi pregunta (ampliada) es: ¿puede dar ejemplos (propios) de usos interesantes, posiblemente no habituales, de la inversión?

Anexo 1: Recordemos las propiedades de la inversión representadas en la Fig. 1:

• La imagen de una línea recta es en general un círculo que pasa por el polo $C$ excepcionalmente, cuando la recta pasa por el origen, su imagen es la propia recta (atención: en este último caso, la recta es invariante "globalmente", pero sus puntos, en general, no lo son).

• La imagen $\Gamma'$ de un círculo $\Gamma$ que no pasa por el origen es una circunferencia del mismo tipo (atención: el centro de $\Gamma'$ no es la imagen del centro de $\Gamma$ no obstante, estos centros están alineados con el polo de inversión). La imagen de un círculo que pasa por el origen es una recta, como se ha dicho antes.

• La imagen del pez negro hecho de segmentos de línea es el pez rojo hecho de arcos circulares nadando en su pecera redonda azul.

Anexo 2: Explicación de la inversión representada en la Fig. 2.

Empecemos por otra definición de inversión.

$$\tag{3}J_{C,k}:M \to M' \ \ \ \ \iff \ \ \ \ \ \exists \vec{U} \ \text{(unit norm vector) s.t.} \ \begin{cases}\vec{CM}=\lambda \vec{U}\\ \vec{CM'}=\lambda' \vec{U}\end{cases} \ \text{and} \ \lambda\lambda'=k^2$$

Sea $M(x,y)$ y $M'(x',y')$ intercambiados por inversión $J_{C,k}$ .

Sea $M_0(x,y,x^2+y^2)$ y $M_0'(x',y',x'^2+y'^2)$ sea su "versión elevada" en el paraboloide $\Pi$ .

Sea $N(X,Y,Z) $ sea cualquier punto de la recta $C_0M_0$ . Podemos definir una abscisa $\mu$ en esta línea para el punto $N$ de la siguiente manera:

$$\tag{$ \estrella $}\vec{C_0N}=\mu \vec{C_0M_0} \ \ \ \ \iff \ \ \ \ \begin{cases}X=a+\mu(x-a)\\ Y=b+\mu(y-b)\\ Z=c+\mu(x^2+y^2-c)\end{cases}$$

con $$c:=a^2+b^2-k^2.$$

Tenga en cuenta que para $\mu=1$ , $N$ está en $M_0$ . Sea $\lambda'$ sea el valor de $\mu$ asociado a $M'_0$ .

Así $N \in \Pi$ en dos casos: cuando $\mu=1$ ( $N=M_0$ ) y cuando $\mu=\lambda'$ ( $N=M'_0$ ). En

$$\tag{3}N \in \Pi \ \iff \ Z=X^2+Y^2,$$

introduciendo en (3) las expresiones de $X,Y,Z$ sur $(\star)$ y sustituyendo $c$ por su expresión definitoria, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática con incógnita $\mu$ :

$$\mu^2[(x-a)^2+(y-b)^2] \ + \ \mu[\cdots] \ + \ k^2=0$$

Utilizando la fórmula clásica del producto de raíces, tenemos

$$\lambda' \times 1 =\dfrac{k^2}{(x-a)^2+(y-b)^2}=\dfrac{k^2}{\|\vec{CM}\|^2}$$

Volvemos a encontrar aquí la definición de inversión dada en (2) (recordemos que $\vec{CM}$ no se ha normalizado).

Answer 1

Aplicación de la inversión a las conexiones mecánicas (conversión de movimiento circular en lineal): Enlace Peaucellier-Lipkin .

Sylvester escribe que cuando le enseñó un modelo a (Lord) Kelvin, éste "lo cuidó como si hubiera sido su propio hijo, y cuando se hizo una moción para que se lo quitara, respondió: '¡No! no he tenido suficiente de él; es la cosa más hermosa que he visto en mi vida'".

Answer 2

El capítulo 8 del libro de Evan Chen "Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads" contiene una aplicación muy interesante de la inversión al problema del cuchillo del zapatero. Para más información, véase http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/hunter/hunter.html

Answer 3

En geometría proyectiva dados cuatro puntos colineales $A,B,C,D$ el producto cruzado $(A,B;C,D)$ se define como $\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot AD}$ .

Si $(A,B;C,D)=-1$ se dice que los puntos son armónicos, y $D$ se dice que es el conjugado armónico de $C$ con respecto a $A,B$ . De forma más general, los pares de puntos $(A,B)$ y $(C,D)$ son conjugados armónicos porque $A$ es también el conjugado armónico de $B$ con respecto a $(C,D).$

En geometría inversa , dejemos que $(AB)$ denotan el círculo de diámetro $AB$ . Para un punto $C$ colineal con $A,B$ , dejemos que $D$ sea la inversa de $C$ con respecto a $(AB)$ . Entonces no es difícil demostrar que el conjunto $(A,B,C,D)$ es armónico. El par $(C,D)$ invierte a $(D,C)$ y el círculo $(CD)$ se invierte hacia sí mismo. Del mismo modo, el círculo $(AB)$ se invierte con respecto a $(CD)$

En referencia al concepto de $n-$ esferas un círculo es un $1-$ esfera y un par de puntos es un $0-$ esfera. Desde esta perspectiva podemos decir que la conjugación armónica para $0-$ esferas e inversión para $1-$ esferas son prácticamente lo mismo. Ser consciente de ello puede ser útil para trabajar con una u otra. Por ejemplo, los conceptos de involuciones proyectivas y lápices coaxiales de círculos están relacionados desde este punto de vista. Al igual que la idea de pares de puntos armónicos conjugados y círculos ortogonales.

Esta correspondencia es "mal conocida" sólo en el sentido de que la geometría proyectiva y la geometría inversa tienden a explicarse como temas separados, cada uno con sus propios marcos y herramientas. E incluso cuando un estudiante ha sido expuesto a ambos temas, la correspondencia puede no ser obvia hasta que se señala.

Answer 4

Quizás no sea esto lo que te interesa, pero ahí va: la inversión respecto al círculo $S^1=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|=1$ } es simplemente el mapa $$\begin{array}{ccc}\mathbb{C}\setminus\{0\}&\longrightarrow&\mathbb{C}\setminus\{0\}\\z&\mapsto&\overline z^{\,-1}.\end{array}$$

Answer 5

Varias propiedades de los círculos en un Cadena papal puede derivarse utilizando la inversión del círculo, como esta imagen tomada de wikipedia espectáculos:

Siguiendo la misma idea, se ha propuesto una construcción basada en la inversión para dibujar la figura con TikZ en una respuesta a La cadena Pappus en tex.stackexchange .

La cadena Pappus también está relacionada con Cadenas Steiner que a su vez están relacionados con Hexlet de Soddy y el Cíclidos Dupin mencionado por el OP.