¿Problema de combinatoria, solución correcta?

Question

Tenemos $6$ abogados, $7$ ingenieros y $4$ médicos. Tenemos la intención de hacer un comité de $5$ de las personas, y queremos que al menos una persona de cada profesión a bordo. Así que para el primer lugar he de elegir un ingeniero, para el segundo, un médico y para el tercero un abogado, dejando sólo a $5$ laywers, $6$ ingenieros y $3$ de los médicos de la izquierda.

Para el resto de los dos lugares, yo podría tener $2$ a más personas de una misma profesión. Este es $\binom{5}{2}+\binom{6}{2}+\binom{3}{2}$ posibilidades.

Yo también podría haber dos personas de diferentes profesiones; un médico y un laywer, $\binom{5}{1}\binom{3}{1}$; un médico y un ingeniero, $\binom{6}{1}\binom{3}{1}$; o un ingeniero y un laywer $\binom{6}{1}\binom{5}{1}$.

Esto se suma a $\binom{5}{2}+\binom{6}{2}+\binom{3}{2}+\binom{5}{1}\binom{3}{1}+\binom{6}{1}\binom{3}{1}+\binom{6}{1}\binom{5}{1}=91$ posible comités.

Tengo dos preguntas con respecto a mi manera de encarar el problema. Pregunta $a)$ es el razonamiento en el derecho, no estoy overcounting? $b)$ Incluso si es a la derecha, hay una forma más simple de hacer esto? Se puede ver que la suma termino con el, aunque es relativamente simple, es bastante largo y tedioso.

Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que la Inclusión, la Exclusión de un enfoque más sencillo.

Si hacemos caso de la restricción, hay $\binom {17}5$ maneras de escoger el grupo.

Luego nos excluir a las elecciones que se pierda uno especificado profesión. Eso es una exclusión de $$\binom {11}5+\binom {10}5+\binom {13}5$$.

Nosotros, a continuación, volver a agregar los casos en los que todas las personas que vienen de una profesión. Así se añade de nuevo $$\binom 65+\binom 75$$

Por lo tanto la respuesta es $$\binom {17}5-\left(\binom {11}5+\binom {10}5+\binom {13}5\right)+\left(\binom 65+\binom 75\right)=\boxed {4214}$$

Answer 2

Creo que lo más fácil es utilizar el principio de inclusión y de exclusión. Comience con todos los $\binom{17}5$ comités, ignorando la condición de que cada profesión debe aparecer. A continuación, para cada profesión, reste la mala comités en los que la profesión no aparece. Así, reste la $\binom{13}5$ comités con ningún médico, el $\binom{11}5$ comités con el abogado, y el $\binom{10}5$ comités con ningún ingeniero. Pero, a continuación, los comités que faltan dos profesiones han sido doblemente resta, por lo que estos deben ser agregado en para corregir esto. Por ejemplo, el $\binom{7}5$ comités con ningún médico o abogado.

El resultado es $$ \binom{17}5-\binom{13}5-\binom{11}5-\binom{10}5+ \binom{7}5 +\binom{6}5 $$

Answer 3

Deje $A=\{(l,e,d)\in\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6,7\}\times\{1,2,3,4\}\mid l+e+d=5\}$

Entonces a es $$\sum_{(l,e,d)\in A}\binom{6}{l}\binom{7}{e}\binom{4}{d}$$

Bajo la esbozado condiciones para la ecuación de $5=l+e+d$ tenemos las siguientes posibilidades:

• $5=3+1+1$
• $5=2+2+1$
• $5=2+1+2$
• $5=1+3+1$
• $5=1+2+2$
• $5=1+1+3$

Esto proporciona una vista en el set $A$ y la muestra de que la suma ha $6$ términos.

Answer 4

Hay 6 tipos de comités posibles: \begin{array} {|r|r|r|} \hline 3&1&1 \\ \hline 1&3&1 \\ \hline 1&1&3 \\ \hline 2&2&1 \\ \hline 2&1&2 \\ \hline 1&2&2 \\ \hline \end {array}

Para cada tipo de comité, es necesario calcular los diferentes grupos de personas que lo componen:

\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline 3&1&1& {6\choose3}{7\choose1}{4\choose1}= 20\cdot7\cdot4 = 560 \\ \hline 1&3&1& {6\choose1}{7\choose3}{4\choose1}= 6\cdot35\cdot4 = 840 \\ \hline 1&1&3& {6\choose1}{7\choose1}{4\choose3}= 6\cdot7\cdot4 = 168 \\ \hline 2&2&1& {6\choose2}{7\choose2}{4\choose1}= 15\cdot21\cdot4 = 1260 \\ \hline 2&1&2& {6\choose2}{7\choose1}{4\choose2}= 15\cdot7\cdot6 = 630 \\ \hline 1&2&2& {6\choose1}{7\choose2}{4\choose2}= 6\cdot21\cdot6 = 756 \\ \hline \end{formación}

Sumando 6 da un total de comités diferentes:

PS

Answer 5

Para grupos de $6, 7$, e $4$ distintos tipos de miembros, el conteo será más fácil al contar todos los posibles comités ignorando la restricción, restando la no-validez de los comités?

$$\binom{6 + 7 + 4}{5} - \left[ \binom{6+7}{5}+\binom{7+4}{5}+ \binom{6+4}{5} \right]$$

No válido los comités son los que totalmente omite uno de los tipos de miembros.

(Ah: Esto no funciona: La resta conteo es demasiado alto, ya que duplica la no-validez de los comités. Intentando de nuevo ...

$$\binom{6+7+4}{5}- \left[ \left[ \binom{6+7}{5} - \a la izquierda[\binom{6}{5}+\binom{7}{5}\right] \right] + \left[ \binom{7+4}{5} - \a la izquierda[\binom{7}{5}+\binom{4}{5}\right] \right] + \left[ \binom{6+4}{5} - \a la izquierda[\binom{6}{5}+\binom{4}{5}\right] \right] \right] - \left[ \binom{6}{5} + \binom{7}{5} + \binom{4}{5} \right]$$

El número de comités de cinco miembros, menos el número de comités con exactamente dos tipos de miembros, menos el número de comités con exactamente un tipo de miembro.

Para los dos tipos de miembros, los comités con exactamente dos tipos de miembros de todos los comités de los dos tipos de miembros, menos los comités de sólo uno de los tipos de miembros, menos los comités de sólo el otro tipo de miembros.

Para mostrar la expresión completa, me he dejado los términos que evaluar a 0, y no han simplificado.