Estoy tratando de resolver un lugar específico problema de residuos cuadráticos. Deje $p,q$ ser primos $(q > 2)$, de tal manera que $p = 2q + 1$, es decir, p es un seguro prime.
$\mathbb{Z}^{*}_{p}$ es un grupo multiplicativo modulo $p$, teniendo orden $p-1$.
A continuación, considere el conjunto a$G = \{ x^{2} \bmod p \vert x \in \mathbb{Z}^{*}_{p} \}$. Se puede demostrar que $G$, el conjunto de residuos cuadráticos módulo $p$, es un subgrupo de $\mathbb{Z}^{*}_{p}$ tener orden de $q$.
Vamos a considerar dos elementos distintos $m_{0},m_{1} \in G$, donde $m_{0} \neq m_{1}$, y considerar los conjuntos de $G + m_{0}$ e $G + m_{1}$ cuando la adición se define el modulo $p$, es decir, $$G + m_{0} = \{ [g + m_{0}]\bmod p \vert g \in G \}$$ $$G + m_{1} = \{ [g + m_{1}]\bmod p \vert g \in G \}$$
Estoy tratando de demostrar que $G + m_{0}$ e $G + m_{1}$ son conjuntos distintos, es decir, su diferencia simétrica es no vacío.
Además, si es posible, yo estoy tratando de encontrar el $m_{0},m_{1}$ que maximiza la cardinalidad de esta diferencia simétrica, dado que el grupo $G$ y en busca de un algoritmo eficiente que hace esto. No estoy seguro de si existe.
El segundo problema es más de un bono, lo que no me sorprendería si es difícil de resolver. Pero el primer problema (demostrando la distinción de los dos conjuntos) es bastante verdad estoy seguro de que, excepto que yo no estoy seguro de cómo demostrarlo.
