¿Qué significa que un campo vectorial esté "a lo largo" $\partial M$ ? Creo que "a lo largo" es una generalización de "en".

Question

Mi libro es An Introduction to Manifolds, de Loring W. Tu. Lo que sigue es una subsección entera (Subsección 22.5) de la sección que introduce los manifiestos con límite (Sección 22, Manifolds with Boundary).

Nota: Creo que todas las variedades con o sin límite a las que se hace referencia en esta subsección tienen dimensiones únicas por alguna convención (o está implícita, o es explícita y me la he perdido) en la sección (La convención del libro es que las variedades con o sin límite pueden ser localmente difeomorfas a diferentes $\mathbb R^n$ 's. Ver aquí y aquí ).

Según un errata de Ehssan Khanmohammadi la única errata que hay que hacer en esta subsección es que $c((0,\varepsilon[) \subset M^\circ$ debe cambiarse por $c(]0,\varepsilon[) \subset M^\circ$ . Todavía tengo varias preocupaciones sobre esta subsección.

1. ¿Qué es exactamente un campo vectorial? a lo largo de $\partial M$ y ¿cuál es su dominio?

   • Opción 1: Es un mapeo cuyo dominio es $\partial M$ y no la totalidad de $M$ y al igual que un colector con límite no es un colector sino una generalización de un colector, no es un campo vectorial en $\partial M$ sino una generalización de un campo vectorial en $\partial M$ que se define igual que un campo vectorial en cualquier colector (sin frontera) porque $\partial M$ es un colector (sin frontera) como se ha demostrado en Subsección 22.3 .

     • La generalización es la siguiente: Sea $X$ sea un campo vectorial en $\partial M$ . $X$ es un mapeo cuyo dominio es $\partial M$ y cuya imagen es el haz tangente $\cup_{p} T_p(\partial M)$ porque a cada uno $p \in \partial M$ , $X$ asigna $p$ a $X_p \in T_p(\partial M)$ . Ahora, $T_p(\partial M) \subseteq T_pM$ Así que $X_p \in T_pM$ . Por lo tanto, $X$ es un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ . Sin embargo, si dejamos que $Y$ sea un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ entonces para cualquier $p \in \partial M$ podríamos no tener el vector tangente en $Y_p$ para ser $Y_p \in T_p(\partial M)$ porque se nos permite tener eso $Y_p \in T_pM \setminus T_p(\partial M)$ porque lo único que se nos exige es que $Y_p \in T_pM$ . Por lo tanto, $Y$ no es necesariamente un campo vectorial en $\partial M$ .

   • Opción 2: Es un mapeo cuyo dominio es el conjunto de $M$ y es efectivamente un campo vectorial en $M$ que tiene ciertas propiedades para sus valores en $p \in \partial M$ (como $X_p \in T_pM$ para cada $p \in \partial M$ ). Supongo que esto significaría que $X|_{\partial M}$ no es un campo vectorial en $\partial M$ lo que es contrario a algunas expectativas de que las restricciones de los campos vectoriales en $N$ , los manifiestos con o sin límite a los subconjuntos $S \subseteq N$ que son variedades con o sin límite son campos vectoriales en $S$ o algo así.

     • En este caso, parece que todo campo vectorial en $M$ es un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ ...pero también a la inversa. Tal vez sea un mapeo cuyo dominio es la totalidad de $M$ pero no es necesariamente un campo vectorial en $M$ .

     • Actualización: Creo que esta es la expectativa en este enlace. En el enlace, la definición de "a lo largo" es para un "submanifold" (inmerso o incrustado) de una manifold que no estoy seguro de que tenga límite. Creo que hay alguna noción de "submanifold" de un manifold con frontera que hace $\partial M$ como "submanifold" de $M$ y entonces supongo que por alguna razón las restricciones de los campos vectoriales a los "submanifolds" son campos vectoriales en los submanifolds, lo que lleva a la noción generalizadora de "a lo largo de"

     • Creo que podría haber una convención (como con derivada direccional ) que un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ tiene dominio para ser todo el $M$ sino que simplemente satisface la propiedad para $p \in \partial M$ . Ver el "campo vectorial global" en el enlace anterior : Creo que el Lemma 5 del enlace es la Proposición 22.10 de Tu. También la de Lee Problema 8-4 , preguntó aquí

   • Opción 3: De alguna manera hay una equivalencia de ser definido en $M$ y sólo en $\partial M$ con algún tipo de extensión.

   • Opción 4: Otros

   • Creo que las siguientes preguntas arrojan algo de luz sobre la respuesta a esta cuestión.

2. Para la expresión local de $X$ un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ ¿es correcta la siguiente interpretación?

   • Preguntado aquí .

3. ¿Es ésta una interpretación correcta de la definición de suavidad?

   • Preguntado aquí .

$ \ $

4. A pesar del título de la subsección, no creo que haya una definición para los campos vectoriales que apuntan hacia fuera. ¿Qué es exactamente?

   • Preguntado aquí

5. En la demostración de la Proposición 22.10, se entiende que cubrimos $\partial M$ por las restricciones de la $(U_{\alpha}, x^1_{\alpha}, ..., x^n_{\alpha})$ ¿como en las preguntas 2 y 3?

   • Preguntado aquí

6. En realidad, basándose en la información de Lee Problema 8-4 , preguntó sobre aquí Creo que podemos interpretar la proposición 22.10 sin el concepto de "a lo largo" de la siguiente manera:

   • Preguntado aquí

Answer 1

Creo que la opción 1 es correcta: Un campo vectorial en $\partial M$ asigna a cada punto $p \in \partial M$ un vector $X_p \in T_p(\partial M)$ . Un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ por otro lado, asigna a cada punto $p \in \partial M$ un vector $X_p \in T_p M$ . Eso es diferente. La frase clave es "a diferencia de $T_p(\partial M)$ ". El dominio de un campo vectorial a lo largo de $\partial M$ es $\partial M$ .

Answer 2

Otra forma de pensar en la distinción entre un campo vectorial $\mathit{on}$ $\partial M$ y un campo vectorial $\mathit{along}$ $\partial M$ es la siguiente. Un campo vectorial $\mathit{on}$ $\partial M$ es una sección del haz tangente $T(\partial M)$ de $\partial M$ . Un campo vectorial $\mathit{along}$ $M$ es una sección de $TM|_{\partial M}$ la restricción del haz tangente $TM$ a $\partial M$ .