Solución de entropía para hamburguesas inviscidas con datos iniciales triangulares.

Question

Encontrar la solución de entropía $$\begin{cases} u_t + \left( \frac{u^2}{2} \right)_x = 0 & \text{ in } \mathbb{R}\times(0,\infty) \\ u = g & \text{ on } \mathbb{R}\times\{0\}, \end{casos}$$ donde $$g(x) = \begin{cases} 0&\text{ if } x\leq -1 \\ 1+x&\text{ if } -1\leq x\leq 0 \\ 1-x&\text{ if } 0\leq x\leq 1 \\ 0&\text{ if }x\geq 1. \end{casos}$$

Esto es lo que tengo hasta ahora. Para obtener las características que hemos $x=g(x_0)t+x_0$ lo que nos da $$\begin{cases} x_0&\text{ if } x_0<-1 \\ (1+x_0)t+x_0&\text{ if } -1<x_0<0 \\ (1-x_0)t+x_0&\text{ if } 0<x_0<1 \\ x_0&\text{ if } x_0>1 \end{casos}$$ Después de este paso tengo un poco confundido. Creo que el siguiente paso es encontrar las ecuaciones de las perturbaciones en el discontinua de puntos, en este caso $(-1,0)$, $(0,0)$, e $(1,0)$. Aquí está mi intento en el cálculo de los amortiguadores: $$ \frac{dx}{dt} = \frac{0+(1+x)}{2} = \frac{1+x}{2} ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \int_x^{-1}\frac{dy}{1+y} = \int_0^t \frac{ds}{2} ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{x=e^{-t/2}-1}$$

$$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+x)+(1-x)}{2} = \frac{2}{2} = 1 ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \int_0^x dy = \int_0^t ds ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{x=t}$$

$$\frac{dx}{dt} = \frac{(1-x)+0}{2} = \frac{1-x}{2} ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \int_1^x \frac{dy}{1-y} = \int_0^t \frac{ds}{2} ~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{x=1-e^{-t/2}}$$

Suponiendo que yo he hecho todo bien hasta ahora, estoy perdido después de este punto. ¿Cómo puedo obtener mi entropía solución de esto? También, hay otras perturbaciones que tengo que mirar? Por ejemplo, cuando mi actual choques se cruzan hacer nuevos choques se crean?

Cualquier ayuda, orientación y retroalimentación es muy apreciada.

Answer 1

Siguiendo los pasos de este post, la solución de $u = g(x-ut)$ obtenido con el método de las características lee $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 &&\text{for}\; x < -1\\ &\tfrac{1+x}{1+t} &&\text{for}\; {-1}\leqslant x \leqslant t\\ &\tfrac{1-x}{1-t} &&\text{for}\; t\leqslant x \leqslant 1\\ &0 &&\text{for}\; x > 1 \end{aligned} \right. $$ lo que es válido para los tiempos de $0\leqslant t <1$. En el tiempo de rotura $t=1$, las características de base que se cruzan en la $x$-$t$ avión:

A partir de la ruptura del tiempo, la entropía solución incluye una onda de choque, que el eje de abscisas $x_s(t)$ satisface la Rankine-Hugoniot condición. Aquí, el valor a la izquierda de la descarga es $\tfrac{1+x_s}{1+t}$, mientras que el valor de la derecha es cero. Por lo tanto, el choque de la trayectoria satisface $$ \frac{\text d x_s}{\text d t} = \frac{1}{2}\left(\frac{1+x_s}{1+t} + 0\right) $$ con $x_s(1)=1$. Por lo tanto, $x_s(t) = \sqrt{2(1+t)} - 1$, y la entropía solución para $t>1$lee $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 &&\text{for}\; x < -1\\ &\tfrac{1+x}{1+t} &&\text{for}\; {-1}\leqslant x < x_s(t)\\ &0 &&\text{for}\; x > x_s(t) \end{aligned} \right. $$ La solución es máxima en la parte izquierda de la descarga, y el supremum $u|_{x=x_s^-} = \sqrt{2/(1+t)}$ va a cero, como se $t$ va al infinito.