Has preguntado por una importante propiedad de las funciones integrables de Riemann.
Una función acotada definida en $[a,b]$ es integrable de Riemann si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero.
Tenga en cuenta funciones como $\mathbb{1}_\mathbb{Q}$ no cumplen este criterio (para intervalos no triviales), pero siguen siendo integrables de Lebesgue. El criterio para una función acotada en $[a,b]$ para ser integrable en Lebesgue es que la función sea medible que requiere la definición de una medida, lo que le lleva a un desvío de tamaño medio.*
La integración de Lebesgue se aplica a un número de funciones estrictamente mayor que el de Riemann**. Y todos los mismos procesos de limitación son posibles: impropios de dos lados, o que requieren que el límite de cualquier lado exista individualmente, incluso cuando el punto es $\infty$ .
¿Por qué utilizar la integral de Riemann? Es un buen ejemplo de construcción matemática a través de un proceso de limitación, que permite a los profesores abrir la caja negra de la integral sin excesivo dolor. Podría decirse que es la definición más intuitiva.
*-"La medida [de Lebesgue] cero" es más fácil de explicar que una medida entera.
**-Hay una excepción que es un artefacto de las definiciones. Para una integral como $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}$$ la convención para la integración de Riemann sería definir el límite como $$\lim_{t \to \infty} \int_0^t \frac{\sin x}{x}.$$ Si aceptamos esta definición del límite, el límite existe para Riemann o para Lebesgue. En la integral de Lebesgue, es más habitual poner un requisito más estricto a la función, a saber, que $\int_0^\infty \max(f, 0)$ y $\int_0^\infty -\min(f, 0)$ existen por separado. En este sentido, tanto Riemann como Lebesgue son divergentes. Pero como la integral de Lebesgue utiliza sobre todo la segunda definición, se puede decir de forma un tanto engañosa que "la integral impropia de Riemann existe pero no la integral impropia de Lebesgue".
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La integral de Riemann es más sencilla de construir que la integral de Lebesgue, esta es la principal razón para enseñar primero la de Riemann. Además, la integración de Riemann puede extenderse a las integrales impropias de Riemann, y muchas de ellas no están definidas bajo la teoría de Lebesgue
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Es más fácil enseñar la integral de Riemann a estudiantes con poca experiencia en conceptos como espacios métricos compactos, etc. La teoría de la medida requiere cierta madurez matemática, pero sin duda facilita mucho el análisis. Yo utilizo la teoría de la medida todos los días, pero la integración de Riemann la utilizo muy raramente.
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Ver mi respuesta a otra pregunta ... math.stackexchange.com/a/3053942/442
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La integración de Riemann es en general bastante terrible, pero no requiere mucho más allá del análisis real básico para definirla. Al igual que @KaviRamaMurthy, uso la teoría de la medida a diario pero no tengo ocasión de utilizar la integración de Riemann.
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En la integración numérica, prácticamente todas las reglas de cuadratura se desarrollan desde la perspectiva de la integración de Riemann. Existen algunos algoritmos de Monte Carlo o cuasi Monte Carlo para la integración de Lebesgue. No estoy familiarizado con ellos, pero mi impresión es que son lentos.
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Históricamente, el motivo de la integral de Riemann era extender la integración a una clase de funciones más amplia que la integración clásica, y la integración de Lebesgue pretendía extenderla aún más. Pero es muy poco probable que un principiante comprenda la tercera sin haber aprendido primero las dos primeras.
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No recuerdo la cita exacta (tal vez alguien pueda encontrarla), pero el propio Lebesgue dijo que la integral de Riemann debía enseñarse primero. Así que...
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Creo que Terence Tao Introducción a la teoría de la medida explica bastante bien la motivación de la integración de Riemann a la integración de Lebesgue.