Demostrar que .

Question

Demostrar que $$ \limsup_{x\to\infty}\left(\cos x + \sin\left(\sqrt2 x\right)\right) = 2 $$

Casi siempre cuando puedo hacer una pregunta aquí proporciono algunos ensayos de la mina para dar algunos antecedentes. Por desgracia, esta es una pregunta difícil para mí que ni siquiera puedo ver un punto de partida.

Aquí están algunas observaciones, aunque. Vamos a denotar la función en la limsup como $f(x)$: $$ f(x) = \cos x + \sin\left(\sqrt2 x\right) $$

Desde que el pecado del argumento contiene un irracional multiplicador de la propia función no es periódica, tal vez este puede ser utilizado de alguna manera. He intentado asumiendo que no existe $x$ tal que la igualdad se mantiene, a saber: $$ \cos x + \sin\left(\sqrt2 x\right) =2 $$

Por desgracia, yo no era capaz de resolver por $x$. He intentado usar Mathematica para una numérico de la solución, pero NSolve no de salida nada en Reales.

El problema se vuelve aún más difícil ya que existen algunas limitaciones en las herramientas a ser utilizadas. Es dado en el final del capítulo sobre el "Límite de una función". Antes de la definición de los derivados, por lo que el autor asume la instrucción puede ser probada utilizando más o menos elementales de los métodos.

Además, yo estaba pensando que podría ser posible considerar la $f(n),\ n\in\Bbb N$ en lugar de $x\in\Bbb R$ y utilice el hecho de que $\sin(n)$ e $\cos(n)$ son densos en $[-1, 1]$. Pero no está seguro de cómo puede ayudar.

¿Cuál sería el argumento de ser para demostrar la declaración en la sección de problema?

Answer 1

En $1901$, Minkowski ha utilizado su geometría de los números y demostrado en el siguiente teorema${}^{\color{blue}{[1],[2]}}$.

Dado cualquier irracional $\theta$ y no entero número real $\alpha$ tal que $x - \theta y - \alpha = 0$ no tiene soluciones en los enteros. Entonces para cualquier $\epsilon > 0$, existen infinitos pares de números enteros $p,q$ tales que $$|q(p - \theta q - \alpha)| < \frac14 \quad\text{ and }\quad |p - \theta q - \alpha| < \epsilon$$

Tome $(\theta,\alpha) = (\sqrt{2},-\frac14)$, esta opción cumple la condición en el teorema anterior. Esto significa que para cualquier $\epsilon > 0$, existen infinitos pares de números enteros $p,q$ tales que

$$\left|p - \sqrt{2} q + \frac14\right| < \frac{\epsilon}{6\pi}$$

Para un par de $p,q$ con $q \ne 0$, definir

$$(P,Q) = \begin{cases}(p,q), & q > 0\\(-3p-1,-3q) & q < 0\end{cases}$$

Si establecemos $x$ a $2\pi Q$, vamos a tener

$$\sqrt{2}x = 2\pi P + \frac{\pi}{2} + \eta\quad\text{ for some } |\eta| < \epsilon$$

Esto lleva a

$$\cos x = 1 \de la tierra \sin(\sqrt{2}x) \ge 1 - |\eta| > 1 - \epsilon \quad\implica\quad \cos x + \sin(\sqrt{2}x) > 2 - \epsilon$$

Ya hay infinitamente muchos de esos $x$ y que pueden ser tan grandes como uno desea, nosotros podemos obtener

$$\limsup_{x\to \infty}\, ( \cos x + \sin(\sqrt{2}x) ) \ge 2 - \epsilon$$

Desde $\epsilon$ es arbitrario y $\cos x + \sin(\sqrt{2}x)$ está delimitada desde arriba por $2$, podemos concluir $$\limsup_{x\to \infty}\, ( \cos x + \sin(\sqrt{2}x) ) = 2$$

Actualización

Pensando más acerca de esto, ya que solo uso la parte de $| p - \theta q - \alpha| < \epsilon$ en Minkowski del teorema. Este teorema es una exageración. El hecho de que "la parte fraccionaria de $\sqrt{2} q$ es denso en $[0,1]$" es suficiente para derivar por encima del límite. Desde Minkowski del teorema es una útil teorema de saber que para tales problemas, voy a dejar la respuesta como es.

Referencias

• $\color{blue}{[1]}$ - Para más detalles sobre el teorema de, véase el capítulo 10 de la Edad, Lax y Davidoff de La Geometría de los Números.
• $\color{blue}{[2]}$ - Otra prueba se puede encontrar en el capítulo 2 de Ivan Niven clásico de Diophantine Aproximaciones.