¿Por qué los valores propios reales positivos dan lugar a un sistema inestable? ¿Qué pasa con los valores propios entre 0 y 1? o ¿1?

Question

No entiendo por qué, si todos los valores propios de un sistema lineal son reales y positivos, esto implica un sistema inestable. Por ejemplo, si los valores propios están entre 0 y 1, seguramente esto significa que el sistema se está reduciendo gradualmente. Y aún más, ¿un valor propio de 1 no significa que el sistema "se queda quieto"? ¿Por qué un valor propio negativo está relacionado con la estabilidad?

Estoy confundido porque en el caso de los valores propios de una matriz de Markov, parecía que un valor propio de 1 significaba estabilidad, y 0 < < 1 significaba que se reducía. Pero en ambos casos el valor propio es positivo.

Answer 1

La diferencia clave radica en que los mapas definidos por una matriz de Markov son tiempo discreto mientras que los sistemas dinámicos a los que se refiere son tiempo continuo sistemas. En ambos casos, un "lugar" del sistema es estable o inestable dependiendo de si una perturbación fuera del lugar crece o se reduce, lo que se mide de forma diferente en cada sistema.

Para un sistema dinámico continuamente diferenciable, una perturbación local alrededor de la evolución del sistema cerca de un punto fijo es descrita por una exponencial $e^{\lambda t}$ ya que (tomando aproximaciones liberales) $x(t+\Delta t) \approx x(t) + \lambda x(t) = (1 + \lambda)x(t)$ la función crece si $\lambda > 0$ y se encoge si es lo contrario.

Para un sistema de tiempo discreto como una cadena de Markov, las perturbaciones locales crecen dependiendo de si el "siguiente" paso del sistema es mayor que el anterior, es decir, si $x_{n+1} = \lambda x_{n} > x_n$ . Por lo tanto, $\lambda > 1$ indica un punto fijo inestable.

Answer 2

Con los procesos de Markov en tiempo discreto, se examina el comportamiento de potencias sucesivamente mayores de una matriz fija, que depende de potencias sucesivamente mayores de sus valores propios. Si hay alguno con módulo mayor que uno, esas contribuciones a la potencia de la matriz crecerán sin límite, cualquiera con módulo menor que uno tenderá a cero, y cualquiera con módulo exactamente uno no crecerá ni se reducirá.

Si el "sistema" por el que preguntas es un sistema de ecuaciones diferenciales, entonces en lugar del comportamiento de las sucesivas potencias de una matriz $A$ estamos interesados en su exponencial $e^{tA}$ que a su vez depende de los exponenciales $e^{\lambda t}$ de sus valores propios. En este caso, son los valores propios con parte real positiva cuyas contribuciones crecen sin límite, mientras que las contribuciones de los que tienen parte real negativa tienden a cero.