Considerar los números de la forma $p^n - p$ donde $p>2$ es un primer e $n>1 \in \mathbb{Z}$. Cómo muchos de estos tienen una representación única? $2184$ puede ser escrita en esta forma $2$ formas, $3^7-3, 13^3-13$, otros números?
La OEIS de la secuencia de entrada A057896 se compone de números que pueden ser expresados $m^k-m$ más de una manera. El número de $2184$ es el único en la lista que ha $m$ prime para ambas soluciones y un computacional obligado de $10^{24}$ se da en virtud de que no hay otras soluciones que se han encontrado.
La pregunta es, realmente, un caso especial de la Pillai Conjetura desde la singularidad implica que no hay otras soluciones (excepto $3,13$) a la Ecuación de Diophantine $p^n - q^m = p - q$.
En 2001 Bennett mostró que para fijo p y q esta ecuación tiene dos soluciones (no triple representaciones) y conjeturó que la ecuación general (permitiendo $p$ e $q$ compuesta) tiene sólo el 8 soluciones que él presenta. Sólo una de esas soluciones $(3,13)$ es $p$ e $q$ primer. Por lo tanto, si Bennett es correcto esta es la única solución para esta ecuación. Ver su papel En Algunas Ecuaciones Exponenciales de S. S. Pillai para obtener más detalles.
