Es cierto que un functor de un local pequeño de la categoría con una izquierda adjunto es representable?

Question

Considerar el functor $F: B \rightarrow Set$ donde $B$ es un local pequeño de la categoría.

Es cierto que si $F$ tiene un adjunto a la izquierda, a continuación, es representable?

Answer 1

Sí, lo es. Véase, por ejemplo, "Teorías Algebraicas: Un Categóricos Introducción al Álgebra General" de J. Adámek, J. Rosický, E. M. Vitale, página 7 (capítulo 0, sección 0.10 acerca de representable functors).

Prueba: Supongamos $L \dashv F$$1 = \{*\}$. A continuación, \begin{align} Fb \cong \mathbf{Set}(1,Fb) \cong B(L1,b) \end{align} naturalmente, en $b \in B$, por lo tanto $F \cong H^{L1}$.