Cálculo de la acción (en cáscara) de una partícula libre

Question

Estoy teniendo dificultad con el primer problema de Feynman y Hibbs " del libro.

Para una partícula libre $L = (m/2)\dot{x}^2$. Muestran que el (shell) acción $S_{cl}$ correspondiente a la clásica de movimiento de una partícula libre es $$S_{cl} ~=~ \frac{m}{2}\frac{(x_b - x_a)^2}{t_b - t_a} $$ donde tenemos que $x(t_a) = x_a$$x(t_b) = x_b$.

Entiendo que la acción es

$$S ~=~ \int_{t_a}^{t_b} \frac{m}{2}\dot{x}^2 \,dt.$$

Pero no sé cómo resolver la integral de la $\int \dot{x}^2\,dt $. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Siguiente Noldig comentario, integrando por partes, tenemos que:

\begin{eqnarray} \int_{t_a}^{t_b} \dot{x} \dot{x} \,dt & = & \left. \dot{x} x\right|_{t_a}^{t_b} - \int x \ddot{x} \,dt \\ & = & \dot{x}x(t_b)-\dot{x}x(t_a) \end{eqnarray}

Como la velocidad es constante está dada por $\dot{x} = (x_b-x_a)/(t_b-t_a)$ y el resultado de la siguiente manera.

Answer 1

Utilice la integración por partes y el hecho, que para una partícula libre$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$. Además, sabes que la velocidad es constante, por lo que también puedes resolver la primera parte.

Answer 2

Además, puedes usar una especie de cambio de variables. $\int_a^b \dot{x}^2 dt = \int_a^b v^2 dt = v^2 \int_a^b dt = v^2({t_b}-{t_a})$ donde la última parte usa el hecho v es constante para que una línea la saque de la integral. El resultado sigue.

Answer 3

Lo que puede ser frustrante es partir de la idea de que estamos calculando la acción general para cualquier ruta que conecte$x_a$ y$x_b$. Entonces es cuando te encuentras con la expresión incómoda$ S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt =\frac{m}{2}\{[x \dot{x}]_{t_a}^{t_b}-\int_{t_a}^{t_b}x\ddot{x} dt\}$

Sin embargo, todavía podemos escribir acciones generales como$ S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}+\frac{d^2x}{dt^2}|_{x=x_a} {\small(t-t_a)}+\frac{1}{2!}\frac{d^3x}{dt^3}|_{x=x_a}{\small(t-t_a)^2}+o(|{\small t}|^3)]^2 {\small dt}$

Para la trayectoria clásica que minimiza$S$, obtenemos

$S_{\scriptsize\mbox{min}}=S_{\scriptsize\mbox{cl}}=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}]^2 dt$

de lo cual es sencillo obtener el resultado dado. Así que esto es todo para enfatizar la diferencia entre$S$ y$S_{{\scriptsize\mbox{cl}}}$