Intuitiva definiciones de la Órbita y el Estabilizador

Question

No entiendo la definición de una Órbita. Matemáticamente, está dada por

$$ Orb(x) = \{y = gx | g \G\} $$

donde G es un grupo y $x \in X$, un conjunto que actúa el grupo G, pero ¿qué significa realmente? Es el conjunto de todos los elementos de la $x$ después de haber sido decidido por algún elemento $g$?

El estabilizador es dado por $\{g \in G | gx = x\}$. Así que ¿significa esto que el conjunto de todos los elementos de la $g$, cuando después de actings a $x$ darle el elemento $x$? I. e el conjunto de todos los elementos de la $g$ cuya acción sobre el $x$ no la cambio?

Answer 1

La órbita de $x$ es "todo lo que se puede llegar desde $x$ por la acción de algo en $G$."

El estabilizador de la $x$ es "el conjunto de todos los elementos de a $G$ que no se mueven $x$ cuando actúan en $x$".

Los que ya parecen bastante intuitivo... ¿qué más se puede decir?

Supongo que es posible que desee buscar en las órbitas y los estabilizadores de acciones particulares. Por ejemplo, si un grupo está actuando sobre sí mismo por conjugación, a continuación de la órbita de un elemento, es que el elemento de la clase conjugacy. Uno de los elementos estabiliza otro en esta acción exactamente cuando tiene que desplazarse.

Answer 2

Algunos ejemplos pueden iluminar estas definiciones.

Deje $G$ ser el círculo de grupo, $$G = \{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}.$$ This is the unit circle in $\mathbb{C}$, and it is a group under multiplication. By the same token, $G$ acts on $X = \mathbb{C}$ by multiplication. Geometrically, multiplication by $z = e^{i\theta}$ acts on $\mathbb{C}$ by rotation by the angle $\theta$. Now if we fix some $x\in\mathbb{C}$, the orbit through $x$ will be exactly the circle of radius $|x|$ centred at the origin -- unless $x=0$, in which case the orbit will just be the point $\{0\}$.

Cómo acerca de los estabilizadores? Deje $x\in\mathbb{C}$, y deje $G^x$ ser su estabilizador. Si $x\neq 0$, $zx = x$ si y sólo si $z=1$, y por lo $G^x=\{1\}$. Por otro lado, si $x=0$ $zx = x$ todos los $z\in G$, y por lo $G^x=G$.

He aquí un ejemplo más interesantes estabilizadores. Deje $G$ ahora el diedro grupo de orden 8,

$$G = \{\rho,\tau: \rho^4=e, \tau^2=e, \tau\rho\tau = \rho^{-1}\}.$$

Esta actúa sobre el conjunto de $X = \{1,2,3,4\}$ de los vértices de un cuadrado

con $\rho$ actuando por rotación en sentido antihorario por $\frac \pi 4$ radianes y $\tau$ actuando por reflejo a través de la línea roja. De esta manera, los elementos de $G$ consta de cuatro rotaciones (a través de $0, \frac\pi 4, \frac\pi 2$, e $\frac{3\pi} 4$ radianes) y cuatro reflexiones (horizontal, vertical y a través de cada una de las dos diagonales). Tenga en cuenta que cada vértice puede ser enviado a cualquier otro vértice por una adecuada rotación, y así la órbita de cada vértice es $\{1,2,3,4\}$. ¿Cuál es el estabilizador de, digamos, $3$? Ninguno de los triviales rotaciones fix $3$, y la única reflexión que corrige $3$$\tau$, y así el estabilizador de $3$$\{e,\tau\}$.

Answer 3

Un poco acerca de las acciones del grupo:

En el álgebra y la geometría, un grupo de acción es una descripción de las simetrías de los objetos mediante el uso de grupos. Los elementos esenciales de los objetos son descritos por un conjunto, y las simetrías del objeto descrito por el grupo de simetría de este conjunto, que consta de bijective transformaciones del conjunto. En este caso, el grupo también se llama permutación de grupo (sobre todo si el conjunto es finito o no un espacio vectorial) o la transformación del grupo (especialmente si el conjunto es un espacio vectorial y el grupo actúa como transformaciones lineales del conjunto).

Un grupo de acción es una extensión de la definición de un grupo de simetría en el que cada elemento del grupo de los "actos" como un bijective transformación (o "simetría") de algún conjunto, sin estar identificado con esa transformación. Esto permite una descripción más completa de las simetrías de un objeto, como un poliedro, permitiendo que el mismo grupo para actuar en diferentes conjuntos de características, tales como el conjunto de vértices, el conjunto de aristas y las caras del poliedro.

Si $G$ es un grupo y $X$ es un conjunto, a continuación, un grupo de acción puede ser definida como un grupo homomorphism $h$ $G$ para el grupo simétrico de a $X$. La acción asigna una permutación de $X$ a cada elemento del grupo de tal forma que las permutaciones de X asigna al elemento de identidad de $G$ es la identidad (no hacer nada) transformación de la $X$; un producto de gh de dos elementos de la $G$ es la composición de las permutaciones asignado a $g$$h$.

Puesto que cada elemento de a $G$ es representado como una permutación, un grupo de acción también es conocida como una permutación de la representación.

Véase también Gowers la entrada del blog para un "down to earth" de la discusión en grupo de acciones

• Grupo de Acciones (i)

Oribts

La definición de propiedades de un grupo de garantizar que el conjunto de las órbitas de los (puntos x) $X$ bajo la acción de $G$ forma una partición de X. La asociada a la relación de equivalencia se define diciendo $x \sim y$ si y sólo si existe un $g \in G$ $gx = y.$ de Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación, dos elementos $x$ $y$ son equivalentes si y sólo si sus órbitas son los mismos; es decir, $Gx = Gy$.

Si usted tiene el tiempo libre, usted puede encontrar este video en you Tube, las Órbitas de acción del grupo de ayuda.

Puntos fijos y estabilizador de subgrupos

Dado $g \in G$$x \in X$$gx=x$, podemos decir $x$ es un punto fijo de $g$ $g$ corrige $x$.

Para cada $x \in X$, podemos definir el estabilizador subgrupo de $x$ como el conjunto de todos los elementos en $G$ que arreglar $x$:

$$G_x = \{g\in G\mid gx = x\}.$$

$G_x$ es un subgrupo de $G$, aunque normalmente no uno normal.

También, Wikipedia describe órbitas y los estabilizadores y cómo se relacionan, en su "Grupo de Acción" de la entrada.

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Véase también Gowers del seguimiento de la entrada de blog por un "down to earth" de la discusión en grupo de acciones, de las órbitas, y los estabilizadores:

• Acciones del grupo ii: de la órbita de estabilizador-teorema de

Answer 4

Las órbitas de los

Considere una esfera de $S \subset \mathbb{R^3}$ y un grupo de $G$ de (todas) las rotaciones a lo largo del eje OZ (polo norte-sur, como la Tierra).

$\hspace{70pt}$

Para cada ángulo de $\alpha \in [0, 2\pi)$ no es un elemento del grupo $g_\alpha$ que sería el mapa un punto de $x$ de la esfera en el punto de $y = g_\alpha\cdot x$ de manera tal que la orientación del ángulo entre serían $\alpha$. Observar que $S$ es un objeto en 3d, donde el grupo es casi como $[0,2\pi)$ - esas son dos cosas diferentes, sin embargo, están unidos por el "$\cdot$" del operador, es decir, el grupo de $G$ actúa en la esfera de $S$.

Lo que es una órbita entonces? Ver por ti mismo: $Orb(x) = \{ gx \mid g \in G\}$. Eso significa que la órbita de un punto de $x$ de la esfera $S$ es un conjunto de todos los puntos que un $G$ (es decir, rotaciones), que puede producir a partir de ella, en nuestro caso un círculo, como el de puntos en la foto. Se puede adivinar por qué se llama órbita?

Estabilizadores

Los estabilizadores son los subgrupos que no interfieran en sus puntos. En nuestra esfera ejemplo, tenemos dos tipos de puntos: los polos y no de los polos. ¿Alguno de rotación se mueve de un poste? No, por lo $G_{\text{pole}} = G$. Sin embargo, cada otro punto sería perturbada por un no-cero de rotación, por lo tanto el estabilizador de un no-polo de punto es un trivial grupo, $G_{\text{non-pole}} = \{1\}$.

En más involucrado ejemplo, el grupo de permutaciones de $\{A,B,C\}$, se puede elegir algún elemento, que se $B$, y todavía tiene un no-trivial estabilizador $G_{B} = \{(A)(B)(C), (AC)(B)\} \sim \mathbb{Z}_2$.

En conclusión: estabilizador de $x$ es el mayor subgrupo que no interfieran en su $x$.

Espero que explica algo ;-)

Answer 5

Si usted piensa de una acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $X$ como la asignación a cada una de las $g \in G$ una asignación de $X$ a sí mismo, es decir, para cada una de las $g \in G$ tenemos una función $g: X \rightarrow X$ luego de las órbitas y de los estabilizadores asumir un significado intuitivo.

La órbita de $x\in X$, $Orb(x)$ es el subconjunto de a $X$ obtenido por tomar un determinado $x$, y de actuar sobre él por cada elemento de a $G$. No es el conjunto de todos los elementos de la $x$ después de ser actuado por algún elemento $g$, que sería la imagen de $g$ cuando se la considera como una asignación, escrito $Im(g)$ o $g(X)$. Es diferente para cada una de las $x$, y puede considerarse como el conjunto de todos los puntos que usted podría enviar a $x$ a si se le permite actuar en $x$ por cualquier elemento de $G$.

El estabilizador de $x$, $Stab(x)$ es lo que dicen que es. Para un determinado $x$, es el conjunto de elementos de $G$ mapa de $x$$x$, es decir, los que no la cambie.

En resumen, $Orb(x) \subset X$, y se llama la órbita porque es de los elementos de la $X$ que puede ser alcanzado por actuar en $x$ por algún elemento de $G$. $Stab(x) \subset G$ y, de hecho, es el subgrupo de (Intentar demostrar que por ti mismo!) de $G$ que actúa trivialmente en $x$ enviando a sí mismo. Observe que la intersección sobre todas las $x \in X$ $Stab(X)$ es el conjunto de todos los elementos de a $G$ que se asignan a cada elemento de a $X$ a sí mismo, es decir, el conjunto de elementos de $G$ que actuar en $X$ como la función identidad.