Si $X$ y $Y$ son dos espacios homotópicos equivalentes, y $X$ es semilocalmente simplemente conectada (equivalentemente, $X$ tiene una cubierta universal) debe $Y$ sea semilocalmente simplemente conectada? ¿Cómo se puede demostrar/encontrar un contraejemplo para esta afirmación? Intenté construir un contraejemplo, pero en realidad sólo conozco dos espacios que no son semilocales simplemente conectados (la cuña de círculos que se encoge y $\mathbb R^2$ con el " $K$ -topología") y estos no parecen ser homotopía equivalente a algo más bonito.
Respuesta
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Supongamos que $Y$ es semilocalmente simple y $f:X \to Y$ es una equivalencia homotópica. Queremos demostrar $X$ es semilocalizado simplemente conectado, es decir, que para todo $x \in X$ hay un barrio abierto $U$ tal que el mapa $\pi_1(U,x) \to \pi_1(X,x)$ es trivial.
Desde $Y$ es semilocalmente conectado de forma simple, existe una vecindad abierta $V$ de $f(x)$ tal que el mapa $\pi_1(V,f(x)) \to \pi_1(Y,f(x))$ es cero. Sea $U = f^{-1}(V)$ , un vecindario de $x$ .
Entonces los dos mapas $$ \pi_1(U,x) \to \pi_1(V,f(x)) \stackrel{triv}{\to} \pi_1(Y,f(x)) $$ (que es trivial) y $$ \pi_1(U,x) \to \pi_1(X,x) \stackrel{\sim}{\to} \pi_1(Y,f(x)) $$ coinciden, mostrando que el mapa $\pi_1(U,x) \to \pi_1(X,x)$ es trivial como se desea.
