Convergencia de una serie en$\mathbb{R}$

Question

Si$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{b_n}$ converge y$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n^2}{b_n^2}$ converge, donde$(a_n + b_n)b_n \ne 0$ por cada$n \in \mathbb{N}$, entonces muestra que$\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{a_n + b_n}$ también converge.

Lo he comprobado para$a_n$ y$b_n$ no negativo, pero no puedo hacerlo para los otros casos. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Considerando $c_n=\frac{a_n}{b_n}$, se supone que las $C=\sum\limits_nc_n$ $C'=\sum\limits_nc_n^2$ ambos convergen y que $c_n\ne-1$ por cada $n$, y uno quiere mostrar que $D=\sum\limits_nd_n$ converge, con $d_n=\frac{c_n}{1+c_n}$.

• Desde $d_n=c_n-e_n$ $e_n=\frac{c_n^2}{1+c_n}$ $C$ converge, $D$ converge si y sólo si $E=\sum\limits_ne_n$.
• Desde $C$ converge, $c_n\to0$ por lo tanto $|c_n|\leqslant\frac12$ por cada $n$ lo suficientemente grande, y, a continuación,$|1+c_n|\geqslant\frac12$.
• Para cada $n$ lo suficientemente grande, $\left|e_n\right|\leqslant2c_n^2$.
• Por lo tanto, la convergencia de $C'$ implica que el (absoluta) la convergencia de $E$. Hecho.

Answer 2

Nota: Esta prueba es para la serie $\sum_n A_n$ $\sum_n B_n$ con términos positivos.
Dado $ \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{b_n} $ $ \sum_{n=0}^\infty\frac{a^2_n}{b^2_n} $ convergen, entonces esto implica $ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{a_n}{b_n} + \frac{a_n^2}{b^2_n} \right ) $ converge.

Deje $A_n = \frac{a_n}{a_n+b_n} $$ B_n = \frac{a_n}{b_n} + \frac{a_n^2}{b^2_n} $, luego tenemos

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{A_n}{B_n}=1 \,.$$

Utilice el hecho de que $ \lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{a_n}{b_n} = 0 $ (desde que la serie se $ \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{b_n} $ es convergente la serie) para demostrar que el límite anterior.

Ahora, desde la $\lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{A_n}{B_n}=1$, luego por el límite de la prueba de comparación, las dos series convergen desde $\sum_{n=0}^{\infty} B_n $ converge.

límite de $\frac{A_n}{B_n}$

$$ \frac{A_n}{B_n} = \frac{\frac{a_n}{a_n+b_n}}{\left( \frac{a_n}{b_n} + \frac{a_n^2}{b^2_n} \right )} = \frac{1}{\left(\frac{a_n}{b_n}+1\right)^2} \rightarrow 1 $$ como $n \rightarrow \infty$.