La mesa de Cayley propiedad de un grupo infinito

Question

Una tabla Cayley de un grupo finito tiene que tener cada elemento exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

Prueba que cada elemento de un grupo tiene que estar a lo sumo una vez en cada fila y a lo sumo una vez en cada columna:

Deje que $(G, \circ )$ ser un grupo y $a, b, c, d \in G$ con:

(I) $a \circ b = d$

(II) $a \circ c = d \Leftrightarrow a = d \circ c^{-1}$

Entonces..:

$ \begin {align} (a \circ c) \circ (a \circ b) &= d \circ d \\ \Leftrightarrow d \circ (d \circ c^{-1} \circ b) &= d \circ d \\ \Leftrightarrow d \circ c^{-1} \circ b &= d \\ \Leftrightarrow c^{-1} \circ b &= e \\ \Leftrightarrow b &= c \end {align}$

Como el grupo es finito, esto también significa que es exactamente una vez en cada fila/columna ( $ \forall a,b \in G: a \circ b = x$ con $x \in G$ ).

Ahora mi pregunta es:

¿Existe un grupo con un número infinito de elementos, que no tiene todos los elementos en cada fila/columna de su mesa Cayley?

(Sé que las mesas de Cayley suelen usarse sólo para grupos finitos. Pero si el conjunto del grupo tiene un número contable de elementos, puedes imaginar una tabla Cayley. Por ejemplo, $( \mathbb {Z}, +)$ tiene obviamente cada elemento en cada fila/columna).

Answer 1

El término Mesa Cayley se limita generalmente a los grupos finitos. Sin embargo, es posible generalizar la idea. Para un grupo $G$ y un elemento $a\in G$ El $a$ La "fila" de la tabla es esencialmente la función $$f_a:G\to G:b\mapsto ab\;,$$ y el $a$ 'columna' es esencialmente la función $$f^a:G\to G:b\mapsto ba\;.$$ Si $G$ es contablemente infinito, se puede visualizar la tabla de Cayley como una matriz infinita.

Dejemos que $G$ sea un grupo cualquiera, y fijar $a\in G$ . Para cada $b\in G$ tienes $b=a(a^{-1}b)$ Así que $b$ aparece en la fila $a$ en la columna $a^{-1}b$ . De la misma manera, $b=(ba^{-1})a$ Así que $b$ aparece en la columna $a$ en la fila $ba^{-1}$ . De ello se desprende que $b$ aparece en todas las filas y columnas. La cardinalidad del grupo no importa.

Añadido: No lo has preguntado, pero también está claro que cada elemento de $G$ aparece sólo una vez en cada fila y columna: si $ax=ay$ o $xa=ya$ entonces $x=y$ . Así, cada uno de los mapas $f_a$ y $f^a$ para $a\in G$ es una biyección de $G$ sobre sí mismo, es decir, un permutación de $G$ . El conjunto de todas las permutaciones de $G$ se denota por $\operatorname{Sym}(G)$ y es un grupo bajo composición de funciones; los mapas

$$G\to\operatorname{Sym}(G):a\mapsto f_a$$

y

$$G\to\operatorname{Sym}(G):a\mapsto f^a$$

son isomorfismos de $G$ a subgrupos de $\operatorname{Sym}(G)$ . Esto es Teorema de Cayley .

Answer 2

En la configuración general, tener al menos un elemento en cada fila y columna sólo significa que dado cualquier $g$ y cualquier $a$ existe un $b$ y $b'$ tal que $ab = g$ y $b'a = g$ . Esto es cierto porque se puede dejar $b = a^{-1}g$ y $b' = ga^{-1}$ .

Tener exactamente un elemento en cada fila o columna equivale a $ac = g$ y $ac' = g$ lo que implica que $c = c'$ . Esto se debe a que $ac = g = ac'$ . Multiplicando $a^{-1}$ a ambos lados da $c = c'$ . Haga lo mismo para $ca = g$ y $c'a = g$ .