Nombre para producto categórico dentro de un monoide

Question

Si un monoid es una categoría con un solo objeto, hay un "monoid-teórico" concepto que de la categoría de producto se traduce? Como un análogo, en un poset el producto se traduce en la noción de cumplir (y el subproducto a su doble, la combinación).

Sólo por desenrollar la definición se puede ver que este se reduce a la existencia de dos monoid elementos $p_1$ $p_2$ tal que para cada a $x$ $y$ en el monoid hay un único elemento $\langle x,y \rangle$ que factores como $x = p_1\langle x,y \rangle$$y = p_2\langle x,y \rangle$; la pregunta es si el concepto es un conocido y/o útil.

Por cierto, si el monoid en cuestión es un grupo, entonces, la existencia de un producto hace que la cosa se derrumban en el trivial grupo; esto podría o no la sugerencia de que el concepto con el que yo estoy buscando es "aburrido" para tener un nombre. De hecho, es suficiente para una de las proyecciones a la derecha cancelables, o para el par $\langle x,x\rangle$ a la izquierda cancelables para algunos $x$, de hacer que todo colapse.

Answer 1

Sé exactamente una cosa interesante que decir acerca de esto, que es la siguiente: como Berci dice en los comentarios, esto es equivalente a preguntar por los objetos de $A$ en categorías, que son isomorfos a sus cartesiano plazas $A^2$. Es algo más general, cosa que se puede pedir, que es preguntar por los objetos de $M$ en monoidal categorías que son isomorfos a sus monoidal plazas $M^{\otimes 2}$.

La diversión es el teorema de que la libre de tal cosa (es decir, la libre categoría monoidal en un objeto equipado con un isomorfismo para su monoidal cuadrados) tiene un trivial objeto cuya endomorphisms son el grupo de Thompson F. Esto es debido a la Fiore y Leinster.

Por lo tanto el grupo de Thompson, naturalmente, los actos por los automorfismos en cualquier objeto equipado con un isomorfismo para su monoidal cuadrado (en cualquier categoría monoidal que sea), y, en particular, hay una natural mapa desde el grupo de Thompson para cualquier monoid la satisfacción de su condición.