Existencia de un camino de longitud infinita

Question

Me encontré con la siguiente definición sencilla

Un camino de $\gamma$ $\mathbb{R}^n$ que conecta el punto de $a \in \mathbb{R}^n$ hasta el punto de $b \in \mathbb{R}^n$, es un continuo $\gamma : [0, 1] \to \mathbb{R}^n$ tal que $\gamma(0) = a$$\gamma(1) = b$. Denotamos por a $\ell(\gamma)$ el (Euclidiana) longitud de $\gamma$. $\ell(\gamma)$ es siempre definida y es un no-negativo realnumber o $\infty$.

Sin embargo, me parece no puede pensar en una ruta de acceso, que se define de esta manera (en concreto, en el que el dominio es compacto), la longitud de la cual es infinita. ¿Alguien puede dar un ejemplo ?

Answer 1

Permítanme comenzar con un ejemplo de la infinidad de longitud de ruta de acceso. Considere la posibilidad de cualquier ningún lugar-diferenciable de la curva que conecta los puntos de $a$$b$. Por ejemplo, supongamos $a = (0,f(0))$ $b = (1,f(1))$ donde $f$ es la función de Weierstrass. Considere la posibilidad de $\gamma(t) = (t,f(t))$$t\in[0,1]$. La longitud de $\gamma$ es infinito.

Nota, sin embargo, que cualquier $\gamma$ compacto (como se mencionó) y por lo tanto limitado en $\Bbb R^n$. Debido a esta razón, la única causa de la longitud infinita puede venir de local el comportamiento de la ruta, no de la global - es decir, para $\gamma$ no es posible ir "demasiado lejos" de los puntos de $a$$b$.

Por último, tenga en cuenta que la ruta de acceso de la longitud infinita "más probable" que los de la longitud finita en el sentido de que el movimiento Browniano (que, por cierto, rangos, en el espacio de continuas curvas) es la nada-diferenciable con una probabilidad de $1$.

Answer 2

$\ell(\gamma)$ puede seguir siendo infinito aunque $\gamma$ es diferenciable. Tomemos cualquier función diferenciable $f:[0,1]->\mathbb R$ que es de variación ilimitada; por ejemplo, $f(x) = x^2\sin(1/x^2)$ (con $f(0) = 0$ ). Ahora basta con definir $\gamma(t) = (t,f(t))$ .

Si $\gamma$ es continuamente diferenciable, por otra parte, entonces $d\gamma/dt$ está limitada en $[0,1]$ Así que $\ell(\gamma) = \int_0^1|d\gamma/dt|dt$ es finito.

Actualizado para mostrar la longitud de arco no limitada:

$f$ cruza el $x$ -eje en $x_n=(\pi n)^{-1/2}$ para $n = 1,2,3,...$ Para grandes $n$ la longitud de arco de la curva entre $x_n$ y $x_{n+1}$ se trata de $2x_n^2 = 2/\pi n$ y es ciertamente mayor que $1/\pi n$ . Por lo tanto, la longitud total del arco es mayor que $\sum_{n=1}^\infty1/\pi n$ que no tiene límites.

Answer 3

Sí, por ejemplo, el copo de nieve Koch es un ejemplo de ello. Hagamos la siguiente construcción:

1. Comience con el segmento $A_0 = [0,1]$ .
2. Subdividir $A_0$ en tres trozos iguales.
3. Sustituir el tercio central por un triángulo equilátero de base $[\frac13, \frac23]$ .
4. Suprime la base de ese triángulo. Se obtiene la trayectoria $A_1$ algo que parece un diente de sierra.
5. Por inducción, para construir $A_{n+1}$ sustituir cada uno de los $4^n$ segmentos de $A_n$ por un triángulo equilátero de base este segmento, y luego eliminar el segmento.
6. El objeto límite es un camino (cuya imagen es un conjunto compacto) que une $0$ y $1$ .

La longitud de $A_n$ es $\left( \frac43 \right)^n$ tiende a $+\infty$ como $n \to +\infty$ .

Las dimensiones de Hausdorff son $\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.26$

La siguiente imagen resume la construcción.

http://www.cl.cam.ac.uk/~dao29/tmp/koch/construcción-geométrica.png