La solución de EDO continua de Lipschitz intersecta un hiperplano infinitamente a menudo en un tiempo finito

Question

Estoy tratando de demostrar que una solución globalmente Lipschitz continua del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no pueden cruzarse cualquier hyperplane infinitamente muchas veces en una cantidad finita de tiempo. Así, por ejemplo, algo como una espiral en la que converge al centro en tiempo finito no es posible, porque el centro es un punto de equilibrio y por lo tanto la solución para que el punto no es única (una constante de la trayectoria que se mantiene en equilibrio, o la espiral). También, la solución no puede volar hasta el infinito, porque el sistema es globalmente Lipschitz.

Mi intuición es que incluso en los casos más complejos, esto se deduce del hecho de que Lipschitz continua ecuaciones tienen soluciones únicas, lo que podría romper si la trayectoria converge "demasiado rápido" a un punto específico - como en el caso de la espiral de arriba. Pero no acabo de entender cómo mostrar esta para unas trayectorias que no convergen a un equilibrio. Por ejemplo, tomar la 2-dimensiones mencionadas en espiral, pero se establece en un 3-dimensiones del sistema tal que $z' = 1$. La espiral todavía converge al centro en tiempo finito, pero el centro no es un equilibrio. ¿Cómo puedo demostrar que la solución no es todavía único? O también simplemente "obvio" que la consecuencia de Picard–Lindelöf? :)

Answer 1

La afirmación no es correcta. Usted encontrará a continuación contraejemplos.

Considere la posibilidad de $$\begin{array}{l|rcl} f : & \mathbb R \times \mathbb R^2 & \longrightarrow & \mathbb R^2 \\ & (t, (x,y)) & \longmapsto & (1, 3 t^2 \sin(1/t) - t \cos(1/t))\end{array}$$

$f$ es continua en $t$. $f$ también es independiente de la $(x,y)$ y por lo tanto de manera uniforme Lipschitz continua en $(x,y)$.

En consecuencia, Picard–Lindelöf teorema se aplica a la urografía EXCRETORA $$(x^\prime(t),y^\prime(t)) = f(t,(x,y)) \text{ and } (x(0),y(0))=(0,0)$$

El mapa de $t \mapsto (t, t^3 \sin(1/t))$ es una (única) solución. Sin embargo esta solución se cruza infinitamente muchas veces la hyperplane $y=0$, en el barrio de $t=0$.

Y si usted prefiere una autónomas de educación a distancia, puede utilizar $$\begin{array}{l|rcl} g : & \mathbb R \times \mathbb R^2 & \longrightarrow & \mathbb R^2 \\ & (t, (x,y)) & \longmapsto & (1, 5 x^4 \sin(1/x) - x^3 \cos(1/x))\end{array}$$

$t \mapsto (t,t^5 \sin(1/t))$ es la solución única de la urografía EXCRETORA $$(x^\prime(t),y^\prime(t)) = g(t,(x,y)) \text{ and } (x(0),y(0))=(0,0).$$ Se cruza infinitamente muchas veces la hyperplane $y=0$, en el barrio de $t=0$.