Si $x^{2}-x\in Z(R)$ para todos $x\in R$ entonces $R$ es conmutativo.

Question

Si $x^{2}-x\in Z(R)$ para todos $x\in R$ entonces $R$ es conmutativo.

Necesito demostrar este teorema y tengo algo como lo siguiente. Sin embargo, no sé cómo continuar esta prueba.

$(x+y)^{2}-(x+y)=x^{2}+xy+yx+y^{2}-x-y=(x^{2}-x)+(y^{2}-y)+xy+yx\in Z(R)$

así que $xy+yx\in Z(R)$

Answer 1

Vas por buen camino. Desde $xy+yx\in Z(R)$ obtenemos $x(xy+yx)=(xy+yx)x$ o, después de expandirse, $x^2y+xyx=xyx+yx^2$ y por lo tanto $x^2y=yx^2$ . Esto demuestra que cada casilla está en $Z(R)$ . ¿Puedes ver cómo terminarlo a partir de ahí?

Answer 2

La respuesta es el Teorema 2 del documento

http://archive.maths.nuim.ie/staff/sbuckley/Papers/bm_variations.pdf