En el volumen de la matriz compacta Grupos de Lie

Question

Cuando definimos el volumen de un grupo de mentiras de matriz compacta (subgrupo de$M_n(C)$) viéndolo como un subespacio de$R^{n^{2}}$ y aplicando la medida de Lebesgue habitual, ¿cuál es el volumen de SO (n), SU ( n), Sp (n) y ...?

Answer 1

PARA(n) es un compacto de colector de dimensión$n(n-1)/2$$\mathbb R^{n^2}$. De ello se desprende que su $n^2$-dimensional de la medida de Lebesgue es $0$. El mismo argumento se aplica a los otros ejemplos.

Creo que la pregunta correcta sería ¿cuál es el volumen de estos grupos con respecto a la medida de Lebesgue en el colector de sí mismo. Calcular el volumen de las cosas, como por LO que(2) es sencillo, ya que tenemos una buena parametrización de este grupo.

El volumen de SO(n) se calcula aquí: http://arxiv.org/pdf/0809.0808.pdf

Answer 2

Creo que el siguiente trabajo de Mkrtchyan y Veselovmay ser pertinentes a su pregunta:

http://arxiv.org/abs/1304.3031

Calcula el volumen de un compacto de Lie del grupo cuando se normaliza el uso de la Cartan-Killing forma de su Mentira álgebra. Ahora bien, si su grupo es un compacto de la forma real de un clásico de la Mentira de grupo, hasta una constante, la Cartan-Killing forma es equivalente a la forma $(X,Y)=Tr X^{\ast}Y$ donde $X$ $Y$ son los elementos del álgebra de la Mentira. Esta última forma, por supuesto, permite calcular el volumen de su grupo, como un subconjunto del espacio de matrices. Si calcular la constante relativa de la Cartan-Killing formulario para el formulario I definido arriba, a continuación, puede leer la respuesta usando el papel en el enlace.

Answer 3

Un libro en el que la mayoría de estos se computan es Robb Muirhead: "Aspectos del análisis estadístico multivariado"