Teorema de Dedekind sobre la factorización de primos racionales

Question

Deje $K$ ser una expresión algebraica campo de número, y supongamos que su anillo de enteros es $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\theta]$ algunos $\theta \in \mathcal{O}_K$. Deje $f \in \mathbb{Z}[X]$ ser el polinomio mínimo de a $\theta$, y supongamos $\overline{f} = \overline{f_1}^{e_1} \cdots \overline{f_r}^{e_r} \in \mathbb{F}_p [X]$ donde $p$ es un racional primer y $\overline{f_1}, \ldots, \overline{f_r}$ son distintos monic polinomios irreducibles. A continuación, Dedekind del teorema de la factorización de racional de los números primos nos dice que el ideal de $(p) \triangleleft \mathcal{O}_K$ factores ${\mathfrak{p}_1}^{e_1} \cdots {\mathfrak{p}_r}^{e_r}$ donde $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r$ son distintos primer ideales y además si $f_j \in \mathbb{Z}[X]$ es monic y se reduce a $\overline{f_j} \in \mathbb{F}_p[X]$,$\mathfrak{p}_j = (p, f_j(\theta))$.

En Lang, la Teoría Algebraica de números (1968, pág.28) es una prueba de este teorema, que me pueden seguir a la derecha hasta la penúltima línea. A continuación, hay una misteriosa ecuación que parece venir de la nada, y es, literalmente, la única obstrucción a mi comprensión de la prueba. La esencia de la prueba es como sigue:

1. Primero construimos el primer ideales $\mathfrak{p}_j$ como los granos de homomorphisms $\mathbb{Z}[\theta] \to \mathbb{F}_p(\alpha)$ donde $\theta$ es asignado a una raíz de $\alpha$$\overline{f_j}$.
2. A continuación, nos muestran que la $\mathfrak{p}_j = (p, f_j(\theta))$.
3. Supongamos $(p) = {\mathfrak{p}_1}^{e'_1} \cdots {\mathfrak{p}_r}^{e'_r}$. (Supongo que esto es por el único primer factorización en los dominios de Dedekind? Pero entonces, ¿cómo sabemos que no hay factores adicionales, que no son las $\mathfrak{p}_j$ hemos construido?) Luego, se nota que $f - {f_1}^{e_1} \cdots {f_r}^{e_r} \in p \mathbb{Z}[X]$, lo $f_1(\theta)^{e_1} \cdots f_r(\theta)^{e_r} \in (p)$.
4. Por lo que se deduce que el ${\mathfrak{p}_1}^{e_1} \cdots {\mathfrak{p}_r}^{e_r} \subseteq (p) = {\mathfrak{p}_1}^{e'_1} \cdots {\mathfrak{p}_r}^{e'_r}$, y por lo tanto $e_j \le e'_j$.
5. Deje $d_j = \operatorname{deg} f_j$. Entonces claramente $n = \operatorname{deg} f = d_1 e_1 + \cdots d_r e_r$. Puedo ver que si podemos demostrar que $d_1 e'_1 + \cdots + d_r e'_r = n$, entonces hemos terminado. Pero, ¿por qué es verdadera la ecuación? Lo hace de la siguiente manera única factorización?

Se siente como que la prueba no debe ser este tiempo, aunque, y el teorema del resto Chino no parece ser invocada en cualquier lugar, incluso a pesar de que parece ser la cosa obvia. Hay una sencilla prueba, utilizando el teorema del resto Chino?

Answer 1

SUGERENCIA $\rm\ \ e_i \le\: e_i'\ $ y$\rm \ d_1\ e_1 +\:\cdots\:+ d_r\ e_r\ =\ d_1\ e_1'+\:\cdots\:d_r\ e_r'\ \Rightarrow\ e_i = e_i'\:.$

Editar $\ $ Para responder a la pregunta aclarada, la ecuación$\rm\:n\ =\ \sum d_i e_i'$ se deriva de la Proposición 21, a saber,$\rm\:n\ =\ [L,K]\ =\ \sum_{P|p}\ e_P\:f_P\:.$

Answer 2

Tienes que razonar sobre el tamaño de$\mathcal{O}_K / (p)\mathcal{O}_K$ aquí:

$ p ^ n = \ # (\ mathcal {O} _K / (p) \ mathcal {O} _K) = \ Pi \ # (\ mathcal {O} _K / (\ mathfrak {p} _i ^ {e'_i }) \ mathcal {O} _K) $ gracias al Teorema del Resto Chino.

Para cualquier$i,j$ relevante, la inclusión$\mathcal{O}_K / (\mathfrak{p}_i^{j+1}\mathcal{O}_K) \to \mathcal{O}_K / (\mathfrak{p}_i^{j}\mathcal{O}_K)$ tiene el kernel$(\mathfrak{p}_i^{j}\mathcal{O}_K) / (\mathfrak{p}_i^{j+1}\mathcal{O}_K)$, que es un$(\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i \mathcal{O}_K)$ - espacio vectorial. Como$\mathfrak{p}_i^j \neq \mathfrak{p}_i^{j+1}$, el kernel tiene una dimensión de al menos 1, por lo que su cardinal es al menos$p^{d_i}$.

Al enchufar esa información, obtiene$p^n \ge \Pi p^{d_ie'_i}$, por lo tanto,$n \ge \Sigma d_ie'_i$.

Answer 3

Aquí está la prueba de que he utilizado para la clase. Es más que nada de KCd de la propaganda sobre el tema.

Deje $K=\Bbb Q(\theta)$ $\theta\in{\frak O}_K$ $p\in\Bbb Z$ racional prime. Construir la obvia homomorphism $$\frac{\Bbb Z[\theta]}{p\Bbb Z[\theta]}\to\frac{{\frak O}_K}{p{\frak O}_K}:~x+p{\Bbb Z}[\theta]\mapsto x+p{\frak O}_K.$$

Supongamos $p\nmid m=[{\frak O}_K:{\Bbb Z}[\theta]]$ finito (por la estructura de la teoría de la libre abelian grupos; son la igualdad de rango) y elegir una $\tilde{m}$ que $\tilde{m}m\equiv1$ mod $p\Bbb Z$ (de ahí mod $p{\frak O}_K$ también). Si $x\in{\frak O}_K$ es arbitrario, entonces sabremos $mx\in\Bbb Z[\theta]$ (considere el finito cociente grupo ${\frak O}_K/\Bbb Z[\theta]$) por lo tanto $\tilde{m}mx+p\Bbb Z[\theta]\mapsto x+p{\frak O}_K$, por lo que sabemos el mapa es surjective. Ambos coeficientes son grupos finitos (primaria abelian, el tamaño de la $p^n$) por lo que el mapa debe ser un isomorfismo. Por lo tanto, tenemos

$$\frac{{\frak O}_K}{p{\frak O}_K}\cong\frac{\Bbb Z[\theta]}{p\Bbb Z[\theta]}\cong\frac{\Bbb Z[T]}{(p,f(T))}\cong\frac{\Bbb F_p[T]}{(f(T))}$$

donde $f(T)$ es el polinomio mínimo de a $\theta$ (monic y entero de los coeficientes).

Supongamos $p{\frak O}_K$ $f(T)\in{\Bbb F}_p[T]$ factor en primer ideales y irreducibles, respectivamente, como

$$p{\frak O}_K={\frak P}_1^{e_1}\cdots{\frak P}_g^{e_g},\qquad f(T)=\pi_1(T)^{r_1}\cdots\pi_h(T)^{r_h}.$$

Por Sol-Ze (también conocido como el Teorema del Resto Chino),

$$\frac{{\frak O}_K}{p{\frak O}_K}\cong\prod_{i=1}^g\frac{{\frak O}_K}{{\frak P}_i^{e_i}},\qquad \frac{\Bbb F_p[T]}{(f(T))}\cong\prod_{j=1}^h\frac{{\Bbb F}_p[T]}{(\pi_i(T)^{r_j})}.$$

Un ideal maximal de un producto directo es aquel en el que todos, pero uno de los sumandos puede contener cualquier cosa, y que uno de coordinar contiene elementos a partir de un ideal maximal de que sumando el anillo. Además, un ideal maximal de a $R/P^v$ la red corresponde a un ideal maximal de a $R$ contiene $P^v$, el cual debe ser $P$ $R={\frak O}_K,{\Bbb F}_p[T]$ $P={\frak P}_i,(\pi_i(T))$ resp. Por lo tanto

$$\{{\frak P}\mid p\}\cong{\rm MaxSpec}\left(\frac{{\frak O}_K}{p{\frak O}_K}\right)\cong{\rm MaxSpec}\left(\frac{{\Bbb F}_p[T]}{(f(t))}\right)\cong\{\pi\mid f\}$$

es natural bijection. En particular, esto significa $g=h$ (tomando cardinalidades de arriba). Además, los datos de $e_i$ $r_i$ respectivamente de lectura de los factores ${\frak O}_K/{\frak P}_i^{e_i}$ ${\Bbb F}_p[T]/(\pi_i(T))^{r_i}$ como el nilpotence de su única máxima ideales, y los datos de $N({\frak P}_i)$ $\deg\pi_i$ se pueden leer en el tamaño de su único residuo de campos. Aún más, si nos tire $(\pi_i(T))$ a través del isomorfismo y, a continuación, levante la espalda a ${\frak O}_K$ obtenemos ${\frak P}_i=(p,\Pi_i(\theta))$ donde $\Pi_i(T)\in\Bbb Z[T]$ es cualquier representante de $\pi_i(T)\in{\Bbb F}_p[T]$. En resumen, hemos demostrado que:

Teorema (Dedekind, Zolotarev). Si $\theta$ es una integral primitivo elemento de $K/\Bbb Q$ y un racional prime $p$ no divide $\Bbb Z[\theta]$'s índice en $K$'s enteros, a continuación, $p$'s de la factorización en $K$ es de la misma forma que la de $\theta$'s mínimo polinomio $f$ mod $p$. Es decir, existe un natural bijection entre primos ${\frak P}\mid p$ e irreducibles $\pi\mid f$, y la ramificación de los residuos y los datos coinciden. Finalmente, ${\frak P}_i=(p,\Pi_i(\theta))$ por cualquier representante de la $\Pi_i$$\pi_i$.

A veces ${\frak O}_K$ no es una simple extensión de $\Bbb Z$, en cuyo caso no importa que $\theta\in{\frak O}_K$ elegimos para trabajar, habrá números primos (dividiendo el índice) que este método no nos dice cómo factor. La siguiente cosa a hacer sería simplemente elegir un diferente $\theta'\not\in\Bbb Z[\theta]$, que a menudo es útil. Pero resulta que hay campos de $K$ para el cual existe un primer $p$ dividiendo cada índice $[{\frak O}_K:\Bbb Z[\theta]]$ todos los $\theta\in{\cal O}_K$. Aún así, este método de factores cofinitely muchos primos con éxito, y establece una forma bastante elegante correspondencia entre los dos mundos paralelos.