Encuentre$x_{2014}$ en la recurrencia$x_{2n+1}=4x_n+2n+2$ y$x_{3n+2}=3x_{n+1} + 6x_{n}$

Question

Dado:$x_{2n+1}=4x_n+2n+2$ y$x_{3n+2}=3x_{n+1} + 6x_{n}$ para todos$n\in\mathbb{N}$.

Demuestre que:$x_{3n+1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_{n}$ y, por tanto, encuentre$x_{2014}$

---

Constantemente no logro eliminar$n$ para obtener$x_{3n+1}$ en la forma deseada.

Answer 1

$x_{2n+1}=4x_n+2n+2$,$x_{3n+2}=3x_{n+1}+6x_n$
De$x_{6n-1}=3x_{2n}+6x_{2n-1}=3x_{2n}+24x_{n-1}+12n$ y$x_{6n-1}=4x_{3n-1}+6n=12x_{n}+24x_{n-1}+6n$, encuentro$x_{2n}=4x_{n}-2n$.

Use las reglas para$x_{2n}$ y$x_{2n+1}$ para construir todo en términos de x (1), luego use la regla para$x_{3n+2}$ para verificar.

Sea $ x_ {1} = a x_ {2} = 4a-2, x_ {3} = 4a +4, x_ {4} = 16a-12, x_ {5} = 16a-2$ should equal 12a-6+6a, so $ a = 2 $.

$x_{i}=2,6,12,20,30$, que es suficiente para una conjetura ....