Para que topológico medir los espacios abiertos de los conjuntos siempre tiene medida positiva?

Question

Quiero generalizar el resultado para $\mathbb{R}^n$, que no trivial abierta conjunto de medida positiva.
Abrir y conjuntos de medida cero

Pregunta: Para qué tipos de topológica de la medida de los espacios es cierto que todo no trivial (es decir, no-vacío) abrir el conjunto tiene medida positiva?

Mi pensamiento era que sólo el interior de la regularidad de la medida, junto con locales compacidad del espacio, sería necesario.

Hay algunos problemas con esto:

(1) no sólo la necesidad de que cada punto tiene un pacto de barrio para que esto funcione; de lo contrario, nos gustaría ser capaces de demostrar que el conjunto que contiene un conjunto compacto tiene medida positiva.

Necesitamos que cada punto tiene un compacto de barrio con medida positiva. Esto no parece a seguir a partir de determinado candidato supuestos. Y

(2) Las posibles definiciones de compacidad local varían dependiendo de si o no el espacio es Hausdorff. Obviamente el topológica de la medida de las necesidades de espacio para ser Hausdorff en orden para que pueda interior regular, pero hay más débiles nociones que puede ser suficiente y que no requieren $T_2$.

Al parecer, también tenemos a la izquierda invariancia, es decir, que nuestro topológico medir el espacio es, de hecho, un importante grupo topológico. medida de conjunto abierto con la medida de Haar Pero a partir de la respuesta dada a la pregunta de la siguiente todavía no está claro para mí:

¿Realmente necesitamos Hausdorff? Y, ¿realmente necesitamos una estructura de grupos de izquierda y de invariancia a la conclusión de que cada punto tiene un compacto de barrio con medida positiva?

Answer 1

No estoy seguro si entiendo tu primera pregunta, pero cualquier espacio topológico $X$ puede ser equipado con la Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}_X$, es decir, el $\sigma$-álgebra generada por el open conjuntos de $X$. A continuación, $(X, \mathcal{B}_X)$ es una medida de espacio, que puede ser equipado con una medida de Borel, que es una medida positiva. Sin embargo, hay medidas de Borel que no son "estrictamente positivo".

La siguiente podría ser una respuesta a su segunda pregunta sobre la medida de Haar:

La medida de Haar es una traducción invariante en la medida de Radón, que es una medida positiva. No trivial conjunto abierto tiene, por definición, una medida positiva con respecto a la medida de Haar. Como usted señala, la estructura del grupo es necesario para la traducción de invariancia. La propiedad de Hausdorff es necesaria para probar la existencia de la medida de Haar. El libro Localmente Compacto Grupos por Markus Stroppel discute sobre las propiedades de localmente compacto grupos en la mayoría de los valores generales y, en general, no se supone que el grupo topológico es Hausdorff. Sin embargo, en la prueba de la existencia de la medida de Haar verá que la propiedad de Hausdorff es necesaria. En caso de que quiera saber donde la propiedad de Hausdorff es exactamente necesario en la construcción de la medida de Haar, le recomiendo leer $\S12$ de Stroppel del libro.