Es el isomorfismo entre el $\Lambda^2(\mathbb{R}^n)$ $\mathfrak{so}(n)$ típico?

Question

Recientemente me encontré con una interesante explicación de por qué el rizo de un campo vectorial que representa rotaciones infinitesimales.

Por simplicidad permite trabajar en $\mathbb{R}^n$ que se opone a otra $n$-dimensiones múltiples. En general, la curvatura de la operación puede ser identificado con el exterior derivado de tomar 1-formas de 2 formas. Por supuesto que podemos pensar de 1-formas como campos vectoriales, pero de 2 formas, es decir, los elementos de $\Lambda^2(\mathbb{R}^n)$ se compone de antisimétrica formas bilineales en $\mathbb{R}^n$ que también forman parte de la mentira de álgebra $\mathfrak{so}(n)$ de rotaciones infinitesimales. Para concretar más, podríamos fijar una base, por lo tanto se identifican con antisimétrica $n \times n$ matrices. Esto nos permite ver la curvatura de un campo vectorial en un punto como una rotación infinitesimal en ese punto.

Esta es una linda realidad, pero es más que eso? Que no saben nada acerca de álgebras de lie así que me pregunto si esto es indicativo de nada en general respecto de las álgebras de lie o formas diferenciales? Por ejemplo, nunca pensé $\mathfrak{so}(n)$ como se compone de formas bilineales, así que me pregunto si esto es un hecho general sobre álgebras de lie.

Answer 1

Yo creo que hay una mezcla de diferentes problemas en su pregunta, y la mayoría de ellos se refieren al álgebra lineal en lugar de formas diferenciales o de álgebras de Lie. En primer lugar, de un producto interior espacio de $(V,\langle\ ,\ \rangle)$, se puede identificar a $L(V,V)$ con el espacio de formas bilineales en $V$. Esto asociados a $f:V\to V$ forma $b_f(v,w):=\langle f(v),w\rangle$. Esto le permite definir simétrica y el sesgo de simetría endomorphisms, y la inclinación simétrica son cerrados bajo el colector, formando así una Mentira subalgebra de $\mathfrak{gl}(V)$. Resulta que se sesgar simétrica es la infinitesimal versión de preservar el interior del producto, por lo que esta Mentira subalgebra es $\mathfrak{o}(V)$ (que coincide con $\mathfrak{so}(V)$. Esto se generaliza a Mentir subalgebras de $\mathfrak{o}(V)$ (por ejemplo, $\mathfrak{u}(V)$ o $\mathfrak{su}(V)$ a un complejo espacio vectorial) que pueden ser identificados con los espacios de sesgar simétricas formas bilineales.

De hecho, usted puede jugar al mismo juego con una dimensiones de espacio vectorial dotado de un no-degenerada, sesgar bilineal simétrica forma $\omega$. Los mapas que se skew-simétrica con respecto a $\omega$ nuevo cerrado en el colector y la forma simpléctica Mentira álgebra $\mathfrak{sp}(V)$, pero esta vez están identificados con el espacio $S^2V^*$ de formas bilineales simétricas en $V$. De nuevo se encuentran subalgebras de $\mathfrak{sp}(V)$ puede ser visto como el espacio de formas bilineales simétricas.

Por último, cuando se habla de la curvatura de un campo de vectores, se utiliza el hecho de que en un espacio vectorial de dimensión $n$ con un volumen fijo de forma (que en particular es proporcionado por un producto interior y por un no-degenerada sesgar bilineal simétrica forma), puede identificar a $V$ $\Lambda^{n-1}V^*$ mediante la inserción de un vector en la forma de volumen. Así, en $\mathbb{R^3}$, esto identifica a $2$-formularios con vectores.

Todos estos álgebra lineal hechos tienen su contraparte en los colectores, aplicando a cada espacio de la tangente (y la observación de que el resultado depende suavemente en el punto de base): En una de Riemann colector, se puede interpretar de dos formas como la definición de una familia de rotaciones infinitesimales en la tangente de los espacios. En un simpléctica colector, infinitesimal simpléctica transformaciones de la tangente espacios son descritos por simétrico 2-tensor de campos. Finalmente, para una $n$-colector con una distinguida forma de volumen, usted puede identificar campos vectoriales con $(n-1)$formas de