El primer divisores de los números de 2^n + 3

Question

Estoy interesado en el siguiente problema: ¿existen infinitos números primos $p$ tal que $p^2|2^{n}+3$ para algún número natural $n$?

Un poco de motivación:

Si reemplazamos la función de $2^n + 3$ $f(n)$ donde $f \in \mathbb{Z}[x]$ no es constante que esto es cierto (sigue Hensel lema). Así, es natural intentar probar esto para algunos otros no-funciones polinómicas. $2^n + 3$ es un ejemplo sencillo de esta función. También hay otra buena razón: secuencia $a_n = 2^{n} + 3$ satisface la reccurence relación: $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n}$. Y, por ejemplo, este problema que es cierto para la secuencia de Fibonacci. Así, por Fibonacci es más fácil, incluso si la forma cerrada de los números de Fibonacci es más complicado. Pero creo que la razón de esto es que los números de Fibonacci satisfacer algunas "buenas" de las identidades que otras secuencias que no tienen que compartir.

Ahora algunas observaciones:

Es fácil ejercicio para demostrar que existen infinitos números primos $p$ tal que $p|2^{n}+3$. También, si vamos a tratar de "corregir" $n$ a trabajar también para $p^2$ e intentamos $m=n+k(p-1)$ vemos que es posible, a menos $p$ es Wieferich prime, es decir, satisface $p^2|2^{p-1}-1$. Y esto nos da nada, como no sabemos mucho acerca de los primos de Wieferich...

Este método puede ser generalizada en tal manera: si $p|2^{n}+3$ y el orden de las $2$ mod $p^2$ es mayor que el orden de $2$ mod $p$, entonces podemos encontrar $m$ tal que $p^2|2^{m}+3$. Pero yo realmente no creo que ayuda.

Estoy interesado en alguna información acerca de este problema (sobre todo si es abierto o no) y también los problemas relacionados con el. Podemos hacer una pregunta general: para que las funciones de $f$ sabemos que esto es cierto?

Edit: lo Siento por la confusión con $k$, se elimina.

Answer 1

(Editado como los comentarios de abajo sugieren)

La conjetura ABC me pareció que iba a jugar un rollo, sin embargo se trata de un pequeño resumen:

"Hay una infinidad de números primos $p$, de modo que para cada una de las $p$ hay algunos entero $n$ $p^2|2^n + 3?"$

Si la conjetura ABC es cierto, entonces la respuesta a esta pregunta es casi "no", pero todavía hay un problema en el fin de la discusión.

La conjetura ABC indica que, para cualquier $\epsilon > 0$ hay una constante$K_\epsilon$, de modo que para cualquier co-primer triple $A < B < C$ $A+B = C$ $$C \le K_\epsilon\prod_{p|ABC}p^{1 + \epsilon}.$$

Así que, si hay una colección infinita de números primos, luego de la correspondiente infinito $n$ donde esto es cierto, a continuación, $2^n + 3 = p^2C$ $$p^2C \le K_\epsilon(6Cp)^{1+\epsilon}.$$

(Editado: La siguiente frase es incorrecta "Pero esto va claramente a ejecutar en problemas para suficientemente grande $p.$" Pero quería dejarlo así para Kevin comentario tiene sentido.)

Tenga en cuenta que como $C = C(p)$ es una función de $p$ $C^\epsilon$ (al $C$ es de planta cuadrada o casi cuadrada) plazo aún puede permitir esta desigualdad para el trabajo.

Answer 2

Esto es parte de la pregunta que le hice en 5191. En mi observación de los números primos se describían en los 3 tipos, a)de los números primos que no dividen la forma de 2^x + c, b)de los números primos que se divide, pero un pequeño había dividido ya y c)de los números primos que se divide un nuevo x por lo general más grandes de los números primos. Una vez que un primer divide un formulario, en este caso 2^x + 3 se divide infinitamente periódicamente, así que creo que incluso la forma de p^k|2^x + c, será cierto. Todos los números primos que dispone de un plazo de p-1 (totient = p-1) siempre va a dividir cualquier forma. En el caso de wiefirich prime es una forma especial, todo entero divide a mersenne, así que no hay problema con cualquier p^k dividiendo una de mersenne, pero la vinculación de la orden de mersenne 2^k - 1 para el primer k, podría ser sólo uno de los pequeños números de las propiedades que el 2 wiefirich primos lo son.