De orden superior de Lipschitz condiciones?

Question

Hay una secuencia de condiciones en la generalización de las funciones de Lipschitz de continuidad; estas condiciones llevan la misma relación para derivadas de orden superior que la continuidad Lipschitz lleva a primer orden de derivados. Son estos conocidos y bajo qué nombre?

Para ser más específicos, deje $I$ ser un intervalo de la recta real, $f$ un valor real de la función en $I$, e $C$ un número real positivo.

• $f$ $0$-Lipschitz (aka limitada) en $I$, con una constante $C$ si, para todos los $a \in I$, $\lvert{f(a)}\rvert \leq C$;
• $f$ $1$-Lipschitz (aka Lipschitz) en $I$, con una constante $C$ si, para todos los $a < b \in I$, $\left| \frac {f(b) - f(a)} {b - a} \right| \leq C$;
• $f$ $2$-Lipschitz en $I$, con una constante $C$ si, para todos los $a < b < c \in I$, $\left| \frac {\frac {f(c) - f(b)} {c - b} - \frac {f(b) - f(a)} {b - a}} {c - a} \right| \leq \frac 1 2 C$;
• $f$ $3$-Lipschitz en $I$, con una constante $C$ si, para todos los $a < b < c < d \in I$, $\left| \frac {\frac {\frac {f(d) - f(c)} {d - c} - \frac {f(c) - f(b)} {c - b}} {d - b} - \frac {\frac {f(c) - f(b)} {c - b} - \frac {f(b) - f(a)} {b - a}} {c - a}} {d - a} \right| \leq \frac 1 6 C$;
• etc.

En general, $f$ $n$-Lipschitz en $I$, con una constante $C$ si, para todos los $a_0 < \cdots < a_n \in I$, $$ \left| \frac {\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_0^{n-1} & a_1^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} & a_n^{n-1} \\ f(a_0) & f(a_1) & \cdots & f(a_{n-1}) & f(a_n) \end{bmatrix}} {\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_0^{n-1} & a_1^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} & a_n^{n-1} \\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_{n-1}^n & a_n^n \end{bmatrix}} \right| \leq \frac 1 {n!} C .$$ (El denominador es un determinante de Vandermonde, y el numerador es el mismo con los más altos poderes sustituido los valores de la función.)

Por supuesto, en este caso, la misma desigualdad se cumple si $a_0, \ldots, a_n$ están fuera de orden (ya que esto equivale a que el intercambio de columnas en los determinantes), mientras que son distintos, y que incluso no tiene que ser distinta si claro fracciones: $$ n! \left| \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_0^{n-1} & a_1^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} & a_n^{n-1} \\ f(a_0) & f(a_1) & \cdots & f(a_{n-1}) & f(a_n) \end{bmatrix} \right| \leq C \left| \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_0^{n-1} & a_1^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} & a_n^{n-1} \\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_{n-1}^n & a_n^n \end{bmatrix} \right| ;$$ si la lista de $(a_0, \ldots, a_n)$ tiene alguna repetición, entonces este dice que $0 = 0$. Pero me gusta pensar en el uso de una creciente lista, ya que muestra las fórmulas que vienen. Por ejemplo, la expresión dentro del valor absoluto en la $2$-condición de Lipschitz es una especie de segundo orden cociente de la diferencia, diciendo lo mucho que la diferencia cociente (que aparece en el ordinario $1$-condición de Lipschitz) cambia a medida que nos movemos de $(a,b)$$(b,c)$, en comparación con el rango de general. (No tengo ninguna mancha razón por la cual el resultado puede ser perfectamente embalado como una relación de los factores determinantes, pero es bastante fácil para probar esto mediante la inducción y hechos básicos acerca de Vandermonde determinantes.)

Algunos resultados básicos:

• Suponiendo que $f$ es diferenciable $n$ veces $I$, $f$ $n$- Lipschitz en $I$, con una constante $C$ si y sólo si el $n$th derivado $f^{(n)}$ es limitada (en $I$, con una constante $C$).
• De manera más general, suponiendo que $f$ es diferenciable $k$ veces $I$, $f$ $n$- Lipschitz si y sólo si $f^{(k)}$ $(n - k)$- Lipschitz. (El factoriales de garantía de la misma constante.)

Me gustaría decir que, si $f$ $n$- Lipschitz, a continuación, $f^{(n)}$ existe en casi todas partes, todavía limitada por la misma constante, pero no he probado.

No sé cómo dar sentido a este en un espacio métrico arbitrario, o incluso en $\mathbb{R}^2$. Ni el formulario con el orden superior de la diferencia cociente ni el formulario con los determinantes tiene sentido a priori, incluso para un $2$-Lipschitz de la función. La métrica espacio-derivada se define esencialmente por poner los valores absolutos de cada resta en un cociente de la diferencia, el cambio de $b - a$ a $\lvert{b - a}\rvert$, que se reinterpreta como $d(a,b)$. Pero para el $2$-condición de Lipschitz, esto se aplica el valor absoluto demasiado pronto, antes de que un adicional necesaria la resta, así que no es el mismo.

De todos modos, si alguien ha visto algo como esto o tiene alguna idea sobre esto, entonces yo estoy interesado.

Answer 1

Esto termina siendo el espacio de $C^{n-1,1}$, el espacio de $(n-1)$ veces diferenciable con funciones de Lipschitz continuo derivado de la orden de $(n-1)$. La reducción paso es que una función es $n$-Lipschitz ($n\ge 2$) si y sólo si es diferenciable y $f'$ $(n-1)$- Lipschitz. Voy a trabajar con $n=2$, dejando el notationally engorroso caso de $n>2$ para el lector interesado.

$2$-Lipschitz implica primera derivada es $1$-Lipschitz

Vamos a escribir $[a,b] = \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$. En primer lugar, la existencia de derivados $f'(a) $ sigue del hecho de que por cada secuencia $x_n\to a$ tal que $x_n\ne a$, los cocientes $[x_n,a]$ forma de una secuencia de Cauchy. De hecho, $$ |[x_n,a] - [x_m,a]| \le \frac{C}{2} |x_n-x_m| $$ por la $2$-condición de Lipschitz.

Segundo, el $2$-condición de Lipschitz dice que $|[a,b] - [b,c]|\le \frac{C}{2}|a-c|$. La aplicación de esta dos veces obtenemos, para cualquier $a<b<c<d$, que $$ |[a,b] - [c,d]| \le |[a,b] - [b,c]| + |[b,c] - [c,d]| \le \frac{C}{2}(|a-c| + |b-d|)\le C |a-d| $$ Ahora paso a que el límite de $b\to a$ $c\to d$ a la conclusión de que $$ |f'(a)-f'(d)| \le C|a-d| $$ es decir, $f'$ es de Lipschitz.

$2$-Lipschitz de la siguiente manera a partir de la primera derivada se $1$-Lipschitz

Por el valor medio teorema $[a,b] = f'(\xi) $ algunos $\xi\in (a,b)$. Así que, para cualquier $a<b<c$ hemos $$ |[a,b] - [b,c]| = |f'(\xi_1) - f'(\xi_2)| \le L|a-c| $$ donde $L$ es la constante de Lipschitz de $f'$. Esta muestra $f$ $2$- Lipschitz.

Referencias

Las referencias potencialmente relevantes se pueden encontrar al final del artículo de Wikipedia Dividido diferencias.

Answer 2

Aquí es un verrugas y todas las pruebas de Loco Iván caracterización de $n$-Lipschitz funciones como $C^{n-1,1},$ también conocido como el espacio de Sobolev $W^{n,\infty}$ (delimitada por intervalos).

Tenga en cuenta que por la regla de Cramer, la relación de los factores determinantes es el coeficiente inicial de la interpolación polinómica a través de $(x_0,f(x_0)),\dots,(x_n,f(x_n)),$ que por el "Newton de la forma" es la $n$'th dividido diferencia.

Voy a utilizar un constructiva caracterización de $n$ veces continuamente diferenciable funciones.

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Deje $f:I\to\mathbb R$ ser una función definida en algún intervalo acotado $I.$ Supongamos que hay funciones de $f_0,\dots,f_n$ definido en $I,I^2,\dots,I^{n+1}$, respectivamente, de satisfacciones: $$f_0(x_0) = f(x_0),$$ $$f_0(x_1) − f_0(x_0) = (x_1 − x_0)f_1(x_0, x_1),$$ $$\dots,$$ $$f_{n−1}(x_0, \dots, x_{n−2}, x_n) − f_{n−1}(x_0, \dots, x_{n−2}, x_{n−1}) = (x_n − x_{n−1})f_n(x_0, \dots, x_n)$$ para todos los $x_0, \dots, x_n$ $I.$

Teorema (Coquand, Spitters, Teorema 3.1). Si $f_n$ es uniformemente continua, a continuación, $f$ tiene un uniforme continua $n$'th derivados, $$f^{(n)}(x) = n!f_n(x, \dots, x).$$

Prueba. (Basado en el mismo papel, pero con más detalle para el paso inductivo.) Desde $f_n$ es uniformemente continua y $I$ es acotado, las funciones de $f_{n-1},\dots,f_0$ son uniformemente continuas. Observe que las funciones $f_i$ son simétricas bajo permutaciones de sus argumentos en el conjunto donde los argumentos son distintos (solo están divididas las diferencias), y dado que este conjunto es denso que debe ser simétrico en todas partes.

Tenemos $f^{(0)}(x)=f(x).$ Asumiendo de forma inductiva la fórmula $f^{(k)}(x)=k!f_k(x,x,\dots,x),$ tenemos

\begin{align*} f^{(k)}(y)-f^{(k)}(x)&=f_k(y,y,\dots,y)-f_k(x,x,\dots,x)\\ &=\sum_{i=0}^{k+1}(f_k(\underbrace{y,y,\dots,y}_{k+1-i\text{ times}},\underbrace{x,x,\dots,x}_{i\text{ times}})-f_k(\underbrace{y,y,\dots,y}_{k-i\text{ times}},\underbrace{x,x,\dots,x}_{i+1\text{ times}}))\\ &=(y-x)\sum_{i=0}^{k+1}f_{k+1}(\underbrace{y,y,\dots,y}_{k+1-i\text{ times}},\underbrace{x,x,\dots,x}_{i+1\text{ times}}) \end{align*} donde la primera igualdad es la suma telescópica, y la segunda igualdad se hace uso de permutación de simetría. Esto implica $f^{(k+1)}(x)=(k+1)!f_{k+1}(x,x,\dots,x)$ como se requiere.

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Para aplicar esto a $n$-funciones de Lipschitz, para cada una de las $0\leq i\leq n$ $f_i$ $i$'th dividido diferencia, definido para el subconjunto de $I^{i+1}$ donde todas las coordenadas son distintos. El $n$-Lipschitz condición implica que $f_n$ está acotada. Esto implica que $f_0,\dots,f_{n-1}$ son uniformemente continuas en donde se define, por tanto, extender a los cierres $I,I^2,\dots,I^n.$ Por el teorema anterior, aplicada con $n-1$ en lugar de $n$), $f$ es $n-1$ veces continuamente diferenciable. Y tenemos $f^{(n-1)}(x)=(n-1)!f_{n-1}(x,x,\dots,x)$; nota: $f_{n-1}$ es la extensión de una función de Lipschitz a$I^n$, por lo que es de Lipschitz, por lo que el $n-1$'th derivado es de Lipschitz.

De lo contrario, se nos da una función de $f\in C^{n-1,1}(I)$ y quiere mostrar es $n$-Lipschitz. Por definición, el $n-1$'th derivada es $1$-Lipschitz. Recordemos que un 1-Lipschitz función es absolutamente continua, y de hecho la $n$'th débiles derivados de $f$ es equivalente a un $L^{\infty}(I)$ función que podemos denotar por $f^{(n)}.$ a continuación, podemos utilizar la Hermite-Genocchi fórmula para la división de la diferencia para todos los $0\leq k\leq n$:

$$f_k(x_0, \dots, x_k) = \int_{\Sigma_k} f^{(k)}(t_0x_0 + \cdots + t_kx_k)dt_0 \dots dt_k$$ donde $\Sigma_k = \{(t_0, \dots, t_k) \in [0, 1]^{k+1} \mid t_0 + \dots + t_k = 1\}.$ Esto es fácil de comprobar por distintos $x_0,\dots,x_k$ - ver el Coquand y Spitters de papel. Para $k=n$ necesitamos que el teorema fundamental del cálculo $f^{(n-1)}(y)-f^{(n-1)}(x)=\int_x^y f^{(n)}(z)dz$ generaliza para todas las funciones continuas $f^{(n-1)}.$ El volumen de $\Sigma_n$ $1/n!,$ así que si $f^{(n)}$ está delimitado por $C$ $f_n$ está delimitado por $C/n!.$