determinante de divisor funciones

Question

Dejar que Un ser $(n-1) \times (n-1)$ matriz cuyas entradas $a_{ij}=d(\gcd(i+1,j+1))$. $d(n)$es el número de divisores de a $n$. Parece que el factor determinante es el número de cuadrados que libera a menos que o igual a $n$. Cómo demostrarlo?

Para $a_{ij}=d(\gcd(i,j))$, el factor determinante es 1,porque es el producto de $CC^T$donde $c_{ij}=${if j|i de 1 else 0} Pero este método parece no funcionar en el $\gcd(i+1,j+1)$ de los casos.

Answer 1

Deje $X$ $n \times n$- de la matriz obtenida de la siguiente manera: en la primera fila, el $i$-ésima es igual a $\mu(i)$ donde $\mu$ denota la función de Möbius, y en el $j$-ésima fila ( $j>1$ ) $i$- ésima es $1$ si $i$ divide $j$ y $0$ lo contrario.

Por ejemplo, para $n=8$ obtenemos $$ X=\left( \begin{array}{cccccccc} 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right). $$

Ahora $XX^t$ contiene la matriz de interés $A$ como una submatriz: $$ XX^t = Y = \left( \begin{array}{cccccccc} 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right). $$ Deje $k$ el número de squarefree enteros en $\{1,2,\ldots,n\}$. A continuación, pretendemos que para general $n$ tenemos $\det X = k$ y $XX^t$ es el bloque de la matriz $$ Y = \left( \begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & A \end{array} \right). $$ Esto implicaría que $k \det(A) = \det(Y) = \det (XX^t) = \det(X)^2 = k^2$ o $\det(A)=k$, como se desee.

Primero vamos a mostrar que $XX^t = Y$. Comprobamos la igualdad del elemento en la fila $i$ y la columna $j$. Para $i,j > 1$ esto sigue como en el $\gcd(i,j)$de los casos. Para $i=j=1$ esto se deduce de la $k = \sum_{i=1}^n \mu(i)^2$. Para el resto de los casos esto se deduce de la fórmula $$ \sum_{d \mediados n} \mu(d) = 0 \qquad \mbox{para } n > 2. $$

Queda por demostrar que $\det X = k$. Para cada una de las $2 \leq i \leq n$, añadimos el $i$-ésima columna $\mu(i)$ veces a la primera fila. A continuación, el determinante no cambia y la primera columna contiene un $k$ en la primera fila y $0$ en el resto de filas por la fórmula $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$. En nuestra $n=8$ ejemplo encontramos las siguientes: $$ \left( \begin{array}{cccccccc} 6 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right). $$ Ahora es claro que (en general) el determinante es igual a $k$ señalando que el término correspondiente a la diagonal es el único término distinto de cero.