Galois Descenso de morfismos de campo extensiones

Question

Deje $L/K$ ser finito, separables de la extensión de los campos y $X,Y$ dos finito tipo de esquemas definidos sobre los $K$. Supongamos que hay un morfismos $f: X_L\to Y_L$ $L$ que es Galois equivariant. Esto es, para cualquier $\sigma \in Gal(L/K)$,$f^\sigma = f$. ¿Cómo puedo probar que existe un $f' : X\to Y$ $K$ tal que $f'_L = f$?

Por favor, siéntase libre para saltar a la parte en negrita.

Yo sé que uno puede demostrar que esta para un general fpqc extensión mediante la prueba de cuasi coherente de las poleas, pero me gustaría un método más directo sólo para los campos.

También sé que la siguiente "prueba": Probar primero que galois equivariant conjuntos cerrados de descenso y, a continuación, para la construcción de $f'$, considere la gráfica de $\Gamma_f$ $f$ $X_L\times_L Y_L = (X\times Y)_L$ y el descenso de este a una cerrada subscheme de $X\times Y$ y utilice esta opción para definir $f'$.

Hay dos problemas con este enfoque: en Primer lugar, El gráfico no se necesita ser un cerrado subscheme (no estoy asumiendo que nuestro morfismos está separado). Segundo, no sé cómo, en realidad obtener una morfismos dado un cerrado subscheme de $X\times Y$ que es un isomorfismo bajo la proyección a $X$.

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Así que realmente apreciaría si alguien pudiera construir los morfismos de manera bastante explícita. Por ejemplo, supongamos $X = K[x]/(a)$ $Y = K[y]/(b)$ y supongamos $f$ se define mediante el envío de $y \to p(x)$ $L[x]$ tal que $\sigma(p) \equiv p \pmod{a}$ para todos los galois conjugados $\sigma$. En este caso, ¿qué debo definir $f'$?

El primer intento podría ser definir $y \to \frac{1}{[L:K]}\sum_\sigma p^\sigma(x)$, pero lo que si $[L:K] = 0 \in K$?

Answer 1

Una de las necesidades de $L/K$ Galois (de lo contrario el teorema como se dijo es falso). Voy a dar una prueba sólo en el caso de $X=K[x]/(a)$$Y=k[y]/(b)$.

Como lo escribió, un mapa de $f:X_L\rightarrow Y_L$ corresponde a un polinomio $\overline{p}(x)\in L[x]/(a)$. Elegir un representante de $p\in L[x]$. Si por otra parte $f$ es de Galois-invariante, entonces $u_\sigma=\sigma(p)-p\in aL[x]$.

El polinomio $p$ no $K[x]$, pero en realidad no hay un representante que sea. De hecho, $(u_\sigma)_\sigma$ formas un cocyle en $aL[x]\simeq L[x]$ (que es $u_{\sigma\tau}=u_\sigma+\sigma(u_\tau)$ todos los $\sigma,\tau$). Vamos a mostrar que también es un límite (este es el aditivo forma de Hilbert 90).

Tenga en cuenta que, debido a la independencia de carácter, existe un elemento $l\in L$ de seguimiento 1 : $\sum_\tau \tau(l)=1$. Ahora pon $q=\sum_\tau u_\tau \tau(l)\in aL[x]$. Tenemos $$\sigma q=\sum_\tau \sigma(u_\tau)\sigma\tau(l)= \sum_\tau(u_{\sigma\tau}-u_\sigma)\sigma\tau(l)=\sum_\tau u_{\sigma\tau}\sigma\tau(l) -\sum_\tau u_\sigma\sigma\tau(l)=q-u_\sigma$$ donde la última igualdad se sigue de un cambio de los índices en las sumas.

Por lo tanto $u_\sigma=q-\sigma(q)$ algunos $q\in aL[x]$. Pero $u_\sigma=\sigma(p)-p$. Por lo $\sigma(p)+\sigma(q)=p+q$. Esto significa que el polinomio $p+q$ es de Galois-invariante. A partir de la teoría de Galois, esto significa que $p+q\in K[x]$. Desde $q\in aL[x]$, $p\equiv p+q\ (\operatorname{mod} a)$.

Finalmente, el mapa de $f$ vino hecho de $f':X\rightarrow Y$ : en coordinar los anillos que corresponde a $K[y]/(b)\rightarrow K[x]/(a), y\mapsto p+q\ (\operatorname{mod} a)$