Prueba para la convergencia de la integral impropia

Question

Tengo que probar si, integrales a continuación, ya sea convergen o divergen:

1) $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{(1+x)\ln^3(1+x)}dx$

2) $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{(1+x)\ln^3(1+x)}dx$

Traté de comparar con $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)\ln^3(1+x)}dx$, $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{(1+x)}dx$ pero terminó con nada.

¿Tiene alguna sugerencia? Gracias!

Answer 1

Tanto las integrales divergentes. La primera diverge porque el integrando se comporta como $x^{-5/2}$$x \to 0$, que es un no-integrable singularidad. Usted puede ver que la segunda se bifurca a la sustitución de $x=e^{u}-1$ - el integrando se comporta como $e^{u/2}/u^3$$u \to \infty$.

Answer 2

Un problema relacionado.

1) La integral diverge, ya que, como $x\sim 0$

$$\frac{\sqrt{x}}{(1+x)\ln^3(1+x)}\sim \frac{\sqrt{x}}{(1)(x^3) }\sim \frac{1}{x^{5/2}}.$$

Nota:

$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots. $$

2) Para la segunda integral, simplemente reemplace $x \leftrightarrow 1/x $, por lo que el integrando se comportan como $x\sim 0$

$$ \frac{\sqrt{1/x}}{(1+1/x)\ln^3(1+1/x)}= \frac{\sqrt{x}}{(1+x)(\ln^3(1+1/x))}\sim \frac{\sqrt{x}}{(x)(\ln^3(1/x))} = -\frac{1}{\sqrt{x}\ln^3(x)}.$$

Answer 3

Cerca de $0$, $\log(1+x)=x(1+O(x))$ así $$ \frac{\sqrt{x}}{(1+x)\log^3(1+x)}=x^{-5/2}(1+O(x)) $$ y debido a que $-5/2\le-1$, la integral en 1) no converge.

---

$$ \left(\frac{\sqrt{x}}{\log^3(1+x)}\right)^{1/3}=\frac{x^{1/6}}{\log(1+x)} $$ Por L'Hospital, $$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac{x^{1/6}}{\log(1+x)} &=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac16x^{-5/6}}{1/(1+x)}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac16\left(x^{-5/6}+x^{1/6}\right)\\[12pt] &=\infty \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\log^3(1+x)}=\infty $$ Por lo tanto, la integral en 2) no converge en comparación a $\int_1^\infty\frac1{1+x}\,\mathrm{d}x$