Convertir $\cos\phi$ en $\frac{1t^2}{1+t^2}$ dado que $t = \tan\frac{\phi}{2}$

Question

Tengo que averiguar el funcionamiento para convertir $\cos\phi$ en $\dfrac{1t^2}{1+t^2}$ dado que $t = \tan\dfrac{\phi}{2}$ .

Sería increíble si alguien pudiera ayudar he estado tratando de hacerlo durante horas.

Answer 1

Sugerencia . Se puede escribir $$ \cos \phi =\cos (\phi/2+\phi/2)=\cos^2( \phi/2)-\sin^2 (\phi/2)=\cos^2( \phi/2)(1-\tan^2(\phi/2))=\frac{1-\tan^2(\phi/2)}{1+\tan^2(\phi/2)} $$ donde hemos utilizado la identidad estándar $$ \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b. $$

Answer 2

La tangente del semiángulo se puede expresar como una función racional del seno y del coseno: $$ \tan\frac{\phi}{2}=\frac{\sin\phi}{1+\cos\phi}=\frac{1-\cos\phi}{\sin\phi} $$ Estas relaciones pueden obtenerse a partir de $$ \left|\tan\frac{\phi}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}} $$ multiplicando el numerador y el denominador por $1+\cos\phi$ para la primera expresión y por $1-\cos\phi$ para la segunda expresión y observando que $\tan(\phi/2)$ tiene el mismo signo que $\sin\phi$ , por lo que el valor absoluto puede ser eliminado con seguridad.

Si se fija $t=\tan(\phi/2)$ se obtiene el sistema lineal $$ \begin{cases} \sin\phi-t\cos\phi=t \\[4px] t\sin\phi+\cos\phi=1 \end{cases} $$ y un método estándar proporciona $$ \sin\phi=\frac{2t}{1+t^2}\qquad \cos\phi=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$

El "método estándar" (las incógnitas son $\sin\phi$ y $\cos\phi$ ):

1. Multiplica la primera ecuación por $t$ y restar la primera ecuación de la segunda, obteniendo $$ (1+t^2)\cos\phi=1-t^2 $$

2. Multiplica la segunda ecuación por $t$ y sumar las dos ecuaciones, obteniendo $$ (t^2+1)\sin\phi=2t $$

O, directamente con la regla de Cramer, $$ \sin\phi=\frac {\det\begin{bmatrix}t & -t\\1 & 1\end{bmatrix}} {\det\begin{bmatrix}1 & -t\\t & 1\end{bmatrix}} \qquad \cos\phi=\frac {\det\begin{bmatrix}1 & t\\t & 1\end{bmatrix}} {\det\begin{bmatrix}1 & -t\\t & 1\end{bmatrix}} $$

Answer 3

Una pista:

Utilice una de las fórmulas de duplicación para $\cos\phi$ y la relación entre $\cos^2$ y $\tan^2$ deducido de La identidad de Pitágoras .

Answer 4

Si $t = \tan \frac \phi 2$ entonces, dibujando un triángulo rectángulo, se puede ver que $$\sin \frac \phi 2 = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}} \quad \text{ and } \quad \cos \frac \phi 2 = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$$

Por lo tanto, al utilizar $\cos (2x) = 1 - 2 \sin^2x$ y dejar que $x = \frac \phi 2$ obtenemos

$$\cos \phi = 1 - 2 \cdot \left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2 = 1-\frac{2t^2}{t^2+1} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$