espectáculo $\lim_{x\rightarrow\infty} x^n\exp(-x^2)=0$

Question

Quiero mostrar para todos los $n\in\mathbb N$ $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{\exp(x^2)}=0$$

Estoy bastante seguro de que tengo uso de L'Hospital. He tratado de inducción:

$n=1$: $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac x{\exp(x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{2x\exp(x^2)}=0$$

Y para $n\rightarrow n+1$: $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n+1}}{\exp(x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(n+1)x^n}{2x\exp{x^2}}$$

Y ahora estoy atascado. El plazo $2x$ realmente te molesta mi por mi hipótesis de inducción.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

De donde la has dejado:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{(n+1)\color{red}{x^n}}{2\color{red} xe^{x^2}}=\frac{n+1}2\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n-1}}{e^{x^2}}\stackrel{\text{Inductive Hyp.}}=\frac{n+1}2\cdot 0=0$$

Answer 2

Para $ \ x > 1 \ , $

$$ 0 \ \le \ e^{-x^2} \ \le \ e^{-x} $$

y también se $ \ 0 \ < \ x^n \ \text{for} \ n \in \mathbb{N}$ , por lo que

$$ 0 \ \le \ x^ne^{-x^2} \ \le \ x^ne^{-x} \ .$$

Es mucho más fácil demostrar la $ \ \lim_{x \rightarrow \infty} \ x^ne^{-x} \ = \ 0 \ $ a través de la Regla de l'Hospital. De allí, el "Teorema del sándwich" conduce a

$$ 0 \ \le \ \lim_{x \rightarrow \infty} x^ne^{-x^2} \ \le \ \lim_{x \rightarrow \infty} x^ne^{-x} \ \Rightarrow \ \lim_{x \rightarrow \infty} x^ne^{-x^2} \ = \ 0 \ . $$

Answer 3

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{\exp(x^2)}=\left( \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\exp(x^2/n)}\right)^n=0$$

Ahora, sólo es necesario aplicar L'H una vez.

La segunda solución

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{\exp(x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\exp(n \ln x)}{\exp(x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\exp(n \ln x-x^2)=0$$

Answer 4

Tenga en cuenta que para los positivos $x$, $x^{2n}\le e^{x^2}$ (considerando la serie de taylor), por lo $\frac{x^n}{e^{x^2}}\le\frac{x^n}{x^{2n}}=\frac{1}{x^n}$, por lo tanto $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^{x^2}}\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$.

Answer 5

La aplicación de L'Hospital de $n$ veces haría el truco demasiado (asumiendo $n$ es fijo):

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x^2}} = \lim_{x\to\infty}\frac {x^{n})'} {e^{x^2})'} = \lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^{x^2} 2x}, $$ de nuevo tenemos una $\infty/\infty$ tipo de límite, la repetición de L'Hospital hasta que tengamos una constante en el denominador: $$ \lim_{x\to\infty}\frac {x^{n})^{(n)}} {e^{x^2})^{(n)}} = \lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^{x^2} p(x)} = 0, $$ donde $p(x)$ es un grado $n$ polinomio en $x$.