La convergencia de $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{\sqrt{n}}$

Question

Me estoy encontrando los valores positivos de la $x$ para que el siguiente de la serie es convergente $$ \sum_{n=1}^{\infty}x^{\sqrt{n}}$$ It is sure that it is not convergent for $x\geq1$ as $n$-th term will not tend to zero. Now $x\in[0,1)$ cómo comprobar su convergencia? Por favor me ayudan a resolverlo. Gracias.

Answer 1

Sin la exponencial:

Si $0\le x <1$, tenemos: \begin{align*} \sum_{n\ge1}x^{\sqrt n}&\le\sum_{n\ge1}x^{\lfloor\sqrt n\rfloor}=3x+5x^2+7x^3+9x^4+\dotsm \\ &\le 2+4x+6x^2+8x^3+10x^4+\dotsm=2(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\dotsm)\\ &= 2\biggl(\frac1{1-x}\biggr)'=\frac2{(1-x)^2} \end{align*} por lo tanto la serie converge.

Answer 2

Deje $x \in ]0,1[$; a continuación, $$x^{\sqrt{n}} = \exp(\sqrt{n} \log x) = \frac{1}{e^{\sqrt{n}|\log x|}} < \frac{1}{(\sqrt{n})^{3}} $$ para un gran $n$, por lo que mediante la prueba de comparación deseada de la serie converge.