¿Es el promedio de dos direcciones aleatorias también una dirección aleatoria?

Question

Dadas dos direcciones uniformemente aleatorias en un hemisferio, n0 y n1, ¿la suma normalizada de estos vectores es también una dirección uniformemente aleatoria en el mismo hemisferio?

Answer 1

No - las direcciones promedio lejos del borde son más probables que las direcciones promedio cerca del borde del hemisferio

Answer 2

@Henry te ha dado una buena respuesta, sólo quería complementarla con algunos elementos visuales. Usando el vector 3D normalizado de Gauss para producir puntos, distribuidos uniformemente en $S^2$ (véase casi el final de este artículo en MathWorld) en Mathematica :

Lo anterior visualiza la distribución para la suma normalizada de $n=1$ , $n=2$ , $n=4$ y $n=8$ vectores distribuidos uniformemente en una semiesfera. El cálculo de la probabilidad para el $z$ -de dicho punto aleatorio para que esté por encima de $1/2$ y muestra una mayor concentración de puntos cerca del polo norte como $n$ aumenta.

Answer 3

Si se tira un dado, los datos se distribuyen uniformemente. ¿Y con dos dados? Ya no es uniforme, porque las opciones más cercanas al centro de los datos se pueden alcanzar de más formas. La convolución es tu amiga.